倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

2次無理関数のとある積分公式

この記事では、以下の積分

  { \displaystyle\begin{align*}
  I = \int\frac{dx}{\sqrt{ax^2 + bx + c}}
\end{align*}}

を実行してみます。 結果が実数関数であることを要請すると、 { a,\,b,\,c } の値によって  { x } の範囲に制限が出てくる場合があるのでちょっと面倒。 後のために、被積分関数平方根の中を平方完成しておきましょう:

  { \displaystyle\begin{align*}
  I &= \int\frac{dx}{\sqrt{a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a}}}
\end{align*}}

では、いくつかの場合に分けて積分していきましょう。

 { a > 0 } のとき

この場合、さらに平方根の中の項  { \frac{b^2 - 4ac}{4a} } の符号によって場合分けする必要があります。  { a > 0 } より、分子の  { b^2 - 4ac } の符号を見れば充分です。

 { b^2 - 4ac < 0 } のとき
 { a > 0,\,b^2 - 4ac < 0 } のとき、任意の  { x } について  { ax^2 + bx + c > 0 } なので、 { x } に制限はつきません。

では積分の実行。 平方根の中が  { \sinh^2\psi + 1 } に比例するように、積分変数を  { x } から以下で定義される  { \psi } へ変数変換しましょう:

  { \displaystyle\begin{align*}
  \sqrt{a}\left(x + \frac{b}{2a}\right) = \sqrt{- \frac{b^2 - 4ac}{4a}} \sinh\psi \qquad
    \left(\sqrt{a}dx = \sqrt{-\frac{b^2 - 4ac}{4a}}\,\cosh\psi d\psi\right)
\end{align*}}

このとき

  { \displaystyle\begin{align*}
  I &= \frac{1}{\sqrt{a}}\int \frac{1}{\sqrt{\sinh^2\psi + 1}} \cosh\psi d\psi \\
    &= \frac{1}{\sqrt{a}} \int d\psi \qquad \left(\because \cosh^2\psi - \sinh^2\psi = 1\right)\\
    &= \frac{1}{\sqrt{a}} \psi \\
    &= \frac{1}{\sqrt{a}} \sinh^{-1}\left[\frac{2a}{\sqrt{-(b^2 - 4ac)}}\left(x + \frac{b}{2a}\right)\right] \\
    &= \frac{1}{\sqrt{a}} \sinh^{-1}\left(\frac{2ax + b}{\sqrt{\left|b^2 - 4ac\right|}}\right)
\end{align*}}

 { b^2 - 4ac = 0 } のとき
この場合は  { x \ne -\frac{b}{2a} }積分が定義されます。 積分自体は難しくありませんが、 { x > -\frac{b}{2a} } { x < - \frac{b}{2a} } で符号だけ異なるので、複号を用いて前者を上、後者を下にして、まとめて計算しましょう:

  { \displaystyle\begin{align*}
  I &= \int\frac{dx}{\sqrt{a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2}} \\
    &= \pm \frac{1}{\sqrt{a}} \int\frac{dx}{x + \frac{b}{2a}} \qquad
      \left(\because \sqrt{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2} = \left|x+\frac{b}{2a}\right|\right) \\
    &= \pm \frac{1}{\sqrt{a}} \log\left|x + \frac{b}{2a}\right| \\
    &= \pm \frac{1}{\sqrt{a}} \log\left|2ax + b\right| \qquad\left(\textrm{定数を無視した}\right)
\end{align*}}

 { b^2 - 4ac > 0 } のとき
積分が実数となる  { x } の範囲は

  { \displaystyle\begin{align*}
  x < \frac{-b-\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},\,\frac{-b+\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} < x
\end{align*}}

この場合も2つの範囲で積分が符号だけ異なるので、複号で上を  { x > \frac{-b+\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} }、下を  { x < \frac{-b-\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} } の場合として、まとめて計算します。

では積分の実行。 今の場合は平方根の中が  { \cosh^2\psi - 1 } に比例するように、積分変数を  { x } から以下で定義される  { \psi } へ変数変換します:

  { \displaystyle\begin{align*}
  \sqrt{a}\left(x + \frac{b}{2a}\right) = \pm\sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a}} \cosh\psi \qquad
    \left(\sqrt{a}dx = \pm\sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a}}\,\sinh\psi d\psi\right)
\end{align*}}

常に  { \cosh \psi > 0 } なので、 { x < \frac{-b-\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} } のときは負符号をつけて定義する必要があることに注意。 また、 { x > \frac{-b+\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} } では  { \psi > 0 } { x < \frac{-b-\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} } では  { \psi < 0 } とします。 このとき

  { \displaystyle\begin{align*}
  I &= \pm \frac{1}{\sqrt{a}}\int \frac{1}{\sqrt{\cosh^2\psi - 1}} \sinh\psi d\psi \\
    &= \pm \frac{1}{\sqrt{a}} \int \frac{\sinh \psi}{\left|\sinh \psi\right|}d\psi \qquad
      \left(\because \cosh^2\psi - \sinh^2\psi = 1\right)\\
    &= \frac{1}{\sqrt{a}} \int d\psi \\
    &= \frac{1}{\sqrt{a}} \psi \\
    &= \pm\frac{1}{\sqrt{a}} \cosh^{-1}\left[\pm\frac{2a}{\sqrt{b^2 - 4ac}}\left(x + \frac{b}{2a}\right)\right] \\
    &= \pm\frac{1}{\sqrt{a}} \cosh^{-1}\left|\frac{2ax + b}{\sqrt{b^2 - 4ac}}\right|
\end{align*}}

4行目から5行目への変形では逆双曲線関数  { \cosh^{-1} x } の正の分岐をとっています。  { x < \frac{-b-\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} } では  { I } の値は負である*1一方、 { \cosh^{-1} x } の値が正なので負符号をつけています。

 { a < 0 } のとき

不定積分が実数関数として存在するためには、平方根の中の2次式に正の値をとる定義域が存在しなければならないので  { b^2 - 4ac > 0 } でなければなりません。 さらに、 { x } の範囲は

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{-b+\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} < x < \frac{-b-\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\end{align*}}

でなければなりません。 この条件が満たされているとして、積分を実行しましょう。  { a' = -a (> 0) } とおくと

  { \displaystyle\begin{align*}
  I &= \int\frac{dx}{\sqrt{-a'\left(x - \frac{b}{2a'}\right)^2 + \frac{b^2 + 4a'c}{4a'}}} \\
    &= \int\frac{dx}{\sqrt{\frac{b^2 + 4a'c}{4a'} - a'\left(x - \frac{b}{2a'}\right)^2}}
\end{align*}}

ここで、平方根の中が  { 1-\sin^2\theta } に比例するように積分変数  { \theta } を以下のように導入しましょう:

  { \displaystyle\begin{align*}
  \sqrt{a'} \left(x - \frac{b}{2a'}\right) = \sqrt{\frac{b^2 + 4a'c}{4a'}} \sin\theta \qquad
  \left(\sqrt{a'} dx = \sqrt{\frac{b^2 + 4a'c}{4a'}} \cos\theta d\theta\right)
\end{align*}}

このとき

  { \displaystyle\begin{align*}
  I &= \frac{1}{\sqrt{a'}} \int d\theta \\
    &= \frac{1}{\sqrt{a'}} \theta \\
    &= \frac{1}{\sqrt{a'}} \sin^{-1}\left[\frac{2a'}{\sqrt{b^2 + 4a'c}}\left(x - \frac{b}{2a'}\right)\right] \\
    &= \frac{1}{\sqrt{a'}} \sin^{-1}\left(\frac{2a'x - b}{\sqrt{b^2 + 4a'c}}\right) \\
    &= \frac{1}{\sqrt{-a}} \sin^{-1}\left(\frac{-2ax - b}{\sqrt{b^2 - 4ac}}\right) \qquad \left(\because a' = -a\right)\\
    &= -\frac{1}{\sqrt{|a|}} \sin^{-1}\left(\frac{2ax + b}{\sqrt{b^2 - 4ac}}\right)
\end{align*}}

積分定数は省略しています。

 { a = 0 } のとき

 { a = 0 } のときは簡単に積分できます:

  { \displaystyle\begin{align*}
  I &= \frac{2}{b}\sqrt{bx + c}
\end{align*}}

平方根の中は正でなければならないので、定義域は

  { \displaystyle\begin{align*}
  \begin{cases}
    x > - \dfrac{c}{b} & (b > 0) \\
    x < - \dfrac{c}{b} & (b < 0)
  \end{cases}
\end{align*}}

となります。  { b } も0の場合は被積分関数が定数なので書く必要がないでしょう。

まとめ

以上をまとめると、積分定数を省略して

  { \displaystyle\begin{align*}
  I = \begin{cases}
      \dfrac{1}{\sqrt{a}} \sinh^{-1}\left(\dfrac{2ax + b}{\sqrt{\left|b^2 - 4ac\right|}}\right) &
        \left(a > 0,\,b^2-4ac < 0\right) \\[2mm]
      \pm \dfrac{1}{\sqrt{a}} \log\left|2ax + b\right| & \left(a > 0,\, b^2 - 4ac = 0\right) \\[2mm]
      \pm \dfrac{1}{\sqrt{a}} \cosh^{-1}\left|\dfrac{2ax + b}{\sqrt{b^2 - 4ac}}\right| &
        \left(a > 0,\,b^2-4ac > 0\right) \\[2mm]
      -\dfrac{1}{\sqrt{|a|}} \sin^{-1}\left(\dfrac{2ax + b}{\sqrt{b^2 - 4ac}}\right) & \left(a < 0\right) \\[2mm]
      \frac{2}{b}\sqrt{bx + c} & \left(a = 0\right)
    \end{cases}
\end{align*}}

ここには書いてませんが、1つ目のケース以外には  { x } に範囲があります(上記参照)。 ちょっと岩波数学公式集と異なるところがあるので、そのうち修正するかも・・・

双曲線関数対数関数で表す

逆双曲線関数を対数関数で表す』の結果を使って、上記の  { a > 0 } の場合の逆双曲線関数対数関数で表して見ましょう。

 { b^2 - 4ac < 0 } の場合
 { \sinh x }対数関数で表した公式

  { \displaystyle\begin{align*}
  \sinh^{-1} x = \log\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)
\end{align*}}

より

  { \displaystyle\begin{align*}
  I
    &= \frac{1}{\sqrt{a}} \sinh^{-1}\left(\frac{2ax + b}{\sqrt{\left|b^2 - 4ac\right|}}\right) \\
    &= \frac{1}{\sqrt{a}} \log\left(\frac{2ax + b}{\sqrt{\left|b^2 - 4ac\right|}}
      + \sqrt{\left(\frac{2ax + b}{\sqrt{\left|b^2 - 4ac\right|}}\right)^2 + 1}\right) \\
    &= \frac{1}{\sqrt{a}} \log\left(\frac{2ax + b}{\sqrt{\left|b^2 - 4ac\right|}}
      + \sqrt{\frac{(2ax + b)^2 + \sqrt{\left|b^2 - 4ac\right|}^2}{\sqrt{\left|b^2 - 4ac\right|}^2}}\right) \\
    &= \frac{1}{\sqrt{a}} \log\left(\frac{2ax + b}{\sqrt{\left|b^2 - 4ac\right|}}
      + \frac{\sqrt{4a^2x^2 + 4abx + 4ac}}{\sqrt{\left|b^2 - 4ac\right|}}\right)  \qquad
      \left(\because \sqrt{\left|b^2 - 4ac\right|}^2 = - (b^2 - 4ac)\right) \\
    &= \frac{1}{\sqrt{a}} \log\left(2ax + b + 2\sqrt{a\left(ax^2 + bx + c\right)}\right) \qquad
      \left(\textrm{定数を無視した}\right)
\end{align*}}

 { b^2 - 4ac < 0 } なので  { \sqrt{\left|b^2 - 4ac\right|}^2 = - (b^2 - 4ac) } となることに注意。

 { b^2 - 4ac > 0 } の場合
 { b^2 - 4ac > 0 } の場合も  { b^2 - 4ac < 0 } の場合と同じように計算できます。  { \cosh x }対数関数で表した公式(のうち、正の分岐をとったもの)

  { \displaystyle\begin{align*}
  \cosh^{-1} x = \log\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)
\end{align*}}

より(複号は上記と同じ意味)

  { \displaystyle\begin{align*}
  I
    &= \pm \frac{1}{\sqrt{a}} \cosh^{-1}\left|\frac{2ax + b}{\sqrt{b^2 - 4ac}}\right| \\
    &= \pm \frac{1}{\sqrt{a}} \cosh^{-1}\left(\pm\frac{2ax + b}{\sqrt{b^2 - 4ac}}\right) \\
    &= \pm \frac{1}{\sqrt{a}} \log\left(\pm\frac{2ax + b}{\sqrt{b^2 - 4ac}}
      + \sqrt{\left(\pm\frac{2ax + b}{\sqrt{b^2 - 4ac}}\right)^2 - 1}\right) \\
    &= \pm \frac{1}{\sqrt{a}} \log\left(\pm\left(2ax + b\right) + 2\sqrt{a\left(ax^2 + bx + c\right)}\right) \qquad
      \left(\textrm{定数を無視した}\right) \\
    &= \pm \frac{1}{\sqrt{a}} \log\left|\left(2ax + b\right) \pm 2\sqrt{a\left(ax^2 + bx + c\right)}\right|
\end{align*}}

となります。

 { b^2 - 4ac = 0 } の場合
任意の  { x } について

  { \displaystyle\begin{align*}
  x + \sqrt{x^2+1} &> 0 \\
  -\log\left|x - \sqrt{x^2-1}\right| &= \log\left|x + \sqrt{x^2-1}\right|
\end{align*}}

が成り立つので、上記の2つの場合はまとめて

  { \displaystyle\begin{align*}
  I = \frac{1}{\sqrt{a}} \log\left|\left(2ax + b\right) + 2\sqrt{a\left(ax^2 + bx + c\right)}\right|
\end{align*}}

と書けます。

 { b^2 - 4ac = 0 } の場合は既に対数関数で書けていますが、この場合も同じであることが期待されます。 よって実際にそうなるかを確かめてみましょう。 上記で定義される  { I } について

  { \displaystyle\begin{align*}
  I &= \frac{1}{\sqrt{a}} \log\left|2ax + b + 2\sqrt{a\left(ax^2 + bx + c\right)}\right| \\
    &= \frac{1}{\sqrt{a}} \log\left|2ax + b + 2\sqrt{a\left(ax^2 + bx + \frac{b^2}{4a}\right)}\right| \qquad
      \left(\because c = \frac{b^2}{4a}\right) \\
    &= \frac{1}{\sqrt{a}} \log\left|2ax + b + 2\sqrt{\left(ax + \frac{b}{2}\right)^2}\right| \\
    &= \frac{1}{\sqrt{a}} \log\left|2ax + b + 2\left|ax + \frac{b}{2}\right|\right|
\end{align*}}

これは  { x > -\frac{b}{2a} } のときはたしかに  { b^2 - 4ac = 0 } の場合の結果と等しいですが、 { x < -\frac{b}{2a} } の場合は一致しません。 ただし、この場合は同様の計算で

  { \displaystyle\begin{align*}
  
  -\frac{1}{\sqrt{a}} \log\left|2ax + b - 2\sqrt{a\left(ax^2 + bx + c\right)}\right|
\end{align*}}

に等しいことが分かります。 これは  { b^2 - 4ac > 0 } { x < \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} } の場合と同じ形でもあります。

まとめ
結果をまとめると以下のようになります:

  { \displaystyle\begin{align*}
  I = \begin{cases}
        \dfrac{1}{\sqrt{a}} \log\left|2ax + b + 2\sqrt{a\left(ax^2 + bx + c\right)}\right| &
          \left(a > 0,\quad x > \dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right) \\[2mm]
        -\dfrac{1}{\sqrt{a}} \log\left|2ax + b - 2\sqrt{a\left(ax^2 + bx + c\right)}\right| &
          \left(a > 0,\quad x < \dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right) \\[2mm]
        -\dfrac{1}{\sqrt{|a|}} \sin^{-1}\left(\dfrac{2ax + b}{\sqrt{\left|b^2-4ac\right|}}\right) &
          \left(a < 0\right) \\[2mm]
        \dfrac{2}{b}\sqrt{bx + c} & \left(a = 0\right)
    \end{cases}
\end{align*}}

【追記】
双曲線関数対数関数で表す部分を追記しました。

微分積分・平面曲線 (岩波 数学公式 1)

微分積分・平面曲線 (岩波 数学公式 1)

*1:被積分関数が x = -b/2a に関して偶関数なので、その不定積分積分定数が0のとき x = -b/2a に関して奇関数となる。