倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

逆双曲線関数を対数関数で表す

双曲線関数は基本的に単なる指数関数なので(『もしも高校で双曲線関数をやったなら (1) : 双曲線関数の定義と相互関係』参照)、逆双曲線関数対数関数で表すことができます。

 { \sinh^{-1} x }対数関数で表す

 { y = \sinh^{-1}x } とおくと  { x = \sinh y }、これを指数関数で書き換えると

  { \displaystyle\begin{align*}
  x &= \frac{e^y - e^{-y}}{2} \\
  e^{2y} &- 2x e^y - 1 = 0 \\
  e^y &= x + \sqrt{x^2 + 1} \qquad\left(\because e^y > 0\right)\\
  \therefore \, y &= \log\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)
\end{align*}}

つまり

  { \displaystyle\begin{align*}
  \sinh^{-1} x = \log\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)
\end{align*}}

となります。

 { \cosh^{-1} x }対数関数で表す

 { y = \cosh x } は値域が  { y \geqq 1 } なので、その逆関数  { \cosh^{-1}x } の定義域は  { x \geqq 1 } となります。 また  { \cosh x = a \quad(a > 1) } となる  { x } の値が正負2つあるので、逆関数  { \cosh^{-1} x } はそのままでは2価関数となります。 したがって  { y = \cosh^{-1}x } を一価関数にするには  { y \geqq 0 } もしくは  { y \leqq 0 } の制限が必要です。

という前置きの下、 { \cosh^{-1} x }対数関数で表しましょう。 やり方は  { \sinh^{-1} x } の場合と基本的に同じです。  { y = \cosh^{-1}x } とおくと  { x = \cosh y } より

  { \displaystyle\begin{align*}
  x &= \frac{e^y + e^{-y}}{2} \\
  e^{2y} &- 2x e^y + 1 = 0 \\
  e^y &= x \pm \sqrt{x^2 - 1} \\
  \therefore \, y &= \log\left(x \pm \sqrt{x^2 - 1}\right)
\end{align*}}

よって

  { \displaystyle\begin{align*}
  \cosh^{-1} x = \log\left(x \pm \sqrt{x^2 - 1}\right)
\end{align*}}

となります。 ちなみに、複号については

  { \displaystyle\begin{align*}
  x + \sqrt{x^2 - 1} \geqq 1 ,\qquad x - \sqrt{x^2 - 1} \leqq 1
\end{align*}}

なので、それぞれ  { y \geqq 0,\,y \leqq 0 } の分岐に対応していることが分かります。

また

  { \displaystyle\begin{align*}
  x - \sqrt{x^2 - 1}
    &= \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}}
\end{align*}}

なので

  { \displaystyle\begin{align*}
  \log\left(x - \sqrt{x^2 -1 }\right)
    &= \log\left(\frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}}\right) \\
    &= -\log\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)
\end{align*}}

よって、上記の結果は以下のようにまとめて書くこともできます:

  { \displaystyle\begin{align*}
  \cosh^{-1} x = \pm \log\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)
\end{align*}}


 { \tanh^{-1} x }対数関数で表す

 { -1 < \tanh x < 1 } より  { \tanh^{-1} x } の定義域は  { -1 < x < 1 } です。

 { y = \tanh^{-1}x } とおくと  { x = \tanh y }、これを指数関数で書き換えて

  { \displaystyle\begin{align*}
  x &= \frac{e^y - e^{-y}}{e^y + e^{-y}} \\
  (1-x)e^{2y} &= 1 + x \\
  e^y &=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\\
  \therefore \, y &= \frac{1}{2}\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right)
\end{align*}}

よって

  { \displaystyle\begin{align*}
  \tanh^{-1} x = \frac{1}{2}\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right)
\end{align*}}

となります。

 { \coth^{-1} x }対数関数で表す

 { \coth x = \frac{1}{\tanh x} } です。  { \coth^{-1}x } はこれの逆関数

  { \displaystyle\begin{align*}
  \coth x < -1,\quad 1 < \coth x 
\end{align*}}

より  { \coth^{-1} x } の定義域は  { x < -1,\quad 1 < x } です。

 { y = \coth^{-1}x } とおくと  { x = \coth y }、これを指数関数で書き換えて

  { \displaystyle\begin{align*}
  x &= \frac{e^y + e^{-y}}{e^y - e^{-y}} \\
  (x-1)e^{2y} &= x+1 \\
  e^y &=\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}\\
  \therefore \, y &= \frac{1}{2}\log\left(\frac{x+1}{x-1}\right)
\end{align*}}

よって

  { \displaystyle\begin{align*}
  \coth^{-1} x = \frac{1}{2}\log\left(\frac{x+1}{x-1}\right)
\end{align*}}

となります。

 { \textrm{sech}^{-1} x }対数関数で表す

 { \textrm{sech}\;x = \frac{1}{\cosh x} } です。  { \textrm{sech}^{-1}x } はこれの逆関数。 やはり  { \cosh^{-1} x } と同様に2価関数になります。  { \cosh x \geqq 1 } より  { \textrm{sech}\;x } の定義域は  { 0 < x \leqq 1 } です。

 { y = \textrm{sech}^{-1}x } とおくと  { x = \textrm{sech}\;y }、これを指数関数で書き換えると

  { \displaystyle\begin{align*}
  x &= \frac{2}{e^y + e^{-y}} \\
  xe^{2y} &- 2 e^y + x = 0 \\
  e^y &= \frac{1 \pm \sqrt{1 - x^2}}{x} \\
  \therefore \, y &= \log\left(\frac{1 \pm \sqrt{1 - x^2}}{x}\right)
\end{align*}}

よって

  { \displaystyle\begin{align*}
  \textrm{sech}^{-1} x = \log\left(\frac{1 \pm \sqrt{1 - x^2}}{x}\right)
\end{align*}}

となります。 また

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{1 - \sqrt{1 - x^2}}{x} = \frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}}
\end{align*}}

より

  { \displaystyle\begin{align*}
  \log\left(\frac{1 - \sqrt{1 - x^2}}{x}\right)
    &= \log\left(\frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}}\right) \\
    &= -\log\left(\frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{x}\right)
\end{align*}}

となるので、上記の結果は以下のようにも書けます:

  { \displaystyle\begin{align*}
  \textrm{sech}^{-1} x = \pm\log\left(\frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{x}\right)
\end{align*}}

 { \textrm{cosech}^{-1} x }対数関数で表す

 { \textrm{cosech}\;x = \frac{1}{\sinh x} } です。  { \textrm{cosech}^{-1}x } はこれの逆関数。  { \textrm{cosech}\;x } は0以外で定義されます。

 { y = \textrm{cosech}^{-1}x } とおくと  { x = \textrm{cosech}\;y }、これを指数関数で書き換えると

  { \displaystyle\begin{align*}
  x &= \frac{2}{e^y - e^{-y}} \\
  xe^{2y} &- 2 e^y - x = 0 \\
  e^y &= \frac{1 + \sqrt{1 + x^2}}{x} \qquad\left(\because e^y > 0\right)\\
  \therefore \, y &= \log\left(\frac{1 + \sqrt{1 + x^2}}{x}\right)
\end{align*}}

よって

  { \displaystyle\begin{align*}
  \textrm{cosech}^{-1} x = \log\left(\frac{1 + \sqrt{1 + x^2}}{x}\right)
\end{align*}}

となります。

まとめ

以上の公式をまとめると

  { \displaystyle\begin{align*}
  \sinh^{-1} x &= \log\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) \\
  \cosh^{-1} x &= \log\left(x \pm \sqrt{x^2 - 1}\right) 
                       = \pm \log\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)
    \qquad \left(x \geqq 1 \right) \\
  \tanh^{-1} x &= \frac{1}{2}\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right)
    \qquad \left(-1 < x < 1 \right) \\
  \coth^{-1} x &= \frac{1}{2}\log\left(\frac{x+1}{x-1}\right)
    \qquad \left(x < -1,\, 1 < x \right) \\
  \textrm{sech}^{-1} x &= \log\left(\frac{1 \pm \sqrt{1 - x^2}}{x}\right)
                                    = \pm\log\left(\frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{x}\right)
    \qquad \left(0 < x \leqq 1 \right) \\
  \textrm{cosech}^{-1} &x = \log\left(\frac{1 + \sqrt{1 + x^2}}{x}\right)
    \qquad \left(x \ne 0 \right) \\
\end{align*}}

【修正】

  •  { \textrm{sech}^{-1}x,\,\textrm{cosech}^{-1}x } の結果が間違っていたので修正しました。
  •  { \cosh^{-1}x,\,\textrm{sech}^{-1}x } の別表現を追加しました。

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