『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.2

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

作者: Eleanor G. Rieffel,Wolfgang H. Polak
出版社/メーカー: The MIT Press
発売日: 2011/03/04
メディア: Kindle版
この商品を含むブログを見る

Exercise 2.2. Which pairs of expressions for quantum states represnt the same state? For those pairs that represent different states, describe a measurement for which the probabilities of the two outcomes differ for the two states and give these probabilities.

a. ${ |0\rangle }$ and ${ -|0\rangle }$

b. ${ |1\rangle }$ and ${ \textbf{i}|1\rangle }$

c. ${ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + |1\rangle\right) }$ and ${ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(-|0\rangle + \textbf{i}|1\rangle\right) }$

d. ${ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + |1\rangle\right) }$ and ${ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - |1\rangle\right) }$

e. ${ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - |1\rangle\right) }$ and ${ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|1\rangle - |0\rangle\right) }$

f. ${ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + \textbf{i}|1\rangle\right) }$ and ${ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\textbf{i}|1\rangle - |0\rangle\right) }$

g. ${ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle + |-\rangle\right) }$ and ${ |0\rangle }$

h. ${ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\textbf{i}\rangle - |-\textbf{i}\rangle\right) }$ and ${ |1\rangle }$

i. ${ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\textbf{i}\rangle + |-\textbf{i}\rangle\right) }$ and ${ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|-\rangle + |+\rangle\right) }$

j. ${ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + e^{\textbf{i}\pi/4}|1\rangle\right) }$ and ${ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(e^{-\textbf{i}\pi/4}|0\rangle + |1\rangle\right) }$

補足

${ \textbf{i} }$ は虚数単位です。　また ${ |+\rangle,\,|-\rangle,\,|\textbf{i}\rangle,\,|-\textbf{i}\rangle }$ は以下で定義されます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |+\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + |1\rangle\right) , & |-\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - |1\rangle\right) \\ |\textbf{i}\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + \textbf{i}|1\rangle\right) , & |-\textbf{i}\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - \textbf{i}|1\rangle\right) \end{align*}}$

${ \{|+\rangle,\,|-\rangle \},\,\{|\textbf{i}\rangle,\,|-\textbf{i}\rangle \} }$ はそれぞれ正規直交基底を成します。

方針

小問の状態の各ペアについて、1つ目と2つ目の状態をそれぞれ ${ |x\rangle,\,|y\rangle }$ とおきましょう。

異なる状態については、それぞれに対して異なる確率を与える測定を書き下して、それらの確率を計算せよ、とありますが、ここでは常に1つ目の状態 ${ |x\rangle }$ を基底の1つとする測定を考えることにします。　このとき、 ${ |x\rangle }$ は確率1で測定されるので、 ${ |y\rangle }$ の確率を計算するだけでいいですが、これは ${ \langle x|y \rangle }$ を計算すれば得られます。　つまり、求める確率を ${ P }$ とすると ${ P = \left|\langle x|y \rangle\right|^2 }$ で与えられます。

2つの状態の内積の絶対値が1のとき、これらの状態は同じ状態なので、結局2つの状態の内積を計算すれば、この問題は概ね解けたことになります。　まぁ、問題のいくつかの状態のペアは、見て明らかに同じ状態のものがあるので、これらは軽く流す感じでいきます。

異なる状態の時には測定を書き下せとあるので、1つ目の状態 ${ |x\rangle }$ に直交する状態 ${ |x^\perp\rangle }$ も求めておきましょう。　ついでに ${ |y^\perp\rangle }$ も求めます。

a

明らかに同じ状態ですね。　大域位相のずれは ${ \pi }$ （ ${ e^{\textbf{i}\pi} = -1 }$ ）。

b

これも同じ状態ですね。　大域位相のずれは ${ \frac{\pi}{2} }$ 。

c

2つの状態を定義済みの状態を使って書くと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |x\rangle &= |+\rangle ,& |y\rangle &= -|-\textbf{i}\rangle \end{align*}}$

ですね。　内積は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \langle x|y \rangle &= \frac{1}{2}\Big(\langle0|+\langle1|\Big)\Big(-|0\rangle + \textbf{i}|1\rangle\Big) \\ &= \frac{-1 + \textbf{i}}{2} \end{align*}}$

よって確率 ${ P }$ は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} P &= \left|\frac{-1 + \textbf{i}}{2}\right|^2 \\ &= \frac{1}{2} \end{align*}}$

また

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |x^\perp\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - |1\rangle\right) && (= |-\rangle) \\ |y^\perp\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + \textbf{i}|1\rangle\right) && (= |\textbf{i}\rangle) \end{align*}}$

d

2つの状態を定義済みの状態を使って書くと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |x\rangle &= |+\rangle ,& |y\rangle &= -|-\rangle \end{align*}}$

となります。　内積は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \langle x|y \rangle &= \frac{1}{2}\Big(\langle0|+\langle1|\Big)\Big(|0\rangle - |1\rangle\Big) \\ &= 0 \end{align*}}$

よって確率 ${ P }$ は0です。　また

まぁ、 ${ \{ |+\rangle, |-\rangle \} }$ は正規直交基底を成してるので当然の結果ですね。

e

これらも同じ状態ですね。　大域位相のずれは ${ \pi }$ 。

f

2つの状態を定義済みの状態を使って書くと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |x\rangle &= |\textbf{i}\rangle ,& |y\rangle &= -|-\textbf{i}\rangle \end{align*}}$

となります。　内積は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \langle x|y \rangle &= \frac{1}{2}\Big(\langle0|-\textbf{i}\langle1|\Big)\Big(\textbf{i}|1\rangle - |0\rangle\Big) \\ &= 0 \end{align*}}$

よって確率 ${ P }$ は0です。　また

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |x^\perp\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - \textbf{i}|1\rangle\right) && (= |-\textbf{i}\rangle) \\ |y^\perp\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + \textbf{i}|1\rangle\right) && (= |\textbf{i}\rangle) \end{align*}}$

これも、 ${ \{ |\textbf{i}\rangle, |-\textbf{i}\rangle \} }$ が正規直交基底を成してる帰結ですね。

g

${ |x\rangle }$ を定義済みの状態を使って書くと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |x\rangle &= |+\rangle \end{align*}}$

となります。　内積は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \langle x|y \rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\Big(\langle0| + \langle1|\Big)|0\rangle \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \end{align*}}$

よって確率 ${ P }$ は ${ \frac{1}{2} }$ です。　また

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |x^\perp\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - |1\rangle\right) && (= |-\rangle) \\ |y^\perp\rangle &= |1\rangle \end{align*}}$

h

${ |x\rangle }$ を標準の基底で書き表すと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |x\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\Big(|\textbf{i}\rangle - |-\textbf{i}\rangle \Big) \\ &= \frac{1}{2}\Big(\left(|0\rangle + \textbf{i}|1\rangle \right) - \left(|0\rangle - \textbf{i}|1\rangle\right)\Big) \\ &= \textbf{i}|1\rangle \end{align*}}$

となります。　よって2つは同じ状態です。　大域位相のずれは ${ -\frac{\pi}{2} }$ 。

i

2つの状態を標準の基底で書き表すと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |x\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\Big(|\textbf{i}\rangle + |-\textbf{i}\rangle \Big) \\ &= |0\rangle \\ |y\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\Big(|-\rangle + |+\rangle \Big) \\ &= |0\rangle \end{align*}}$

となり、これら2つも同じ状態。　大域位相のずれもなし。

j

${ |y\rangle = e^{-\textbf{i}\pi/4} |x\rangle }$ なので、これらは同じ状態です。　大域位相のずれは ${ -\frac{\pi}{4} }$ です。

倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ！

『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.2

補足

方針

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j