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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.2

量子コンピュータ

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

目次はこちら

Exercise 2.2. Which pairs of expressions for quantum states represnt the same state? For those pairs that represent different states, describe a measurement for which the probabilities of the two outcomes differ for the two states and give these probabilities.

  • a.  { |0\rangle } and  { -|0\rangle }
  • b.  { |1\rangle } and  { \textbf{i}|1\rangle }
  • c.  { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + |1\rangle\right) } and  { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(-|0\rangle + \textbf{i}|1\rangle\right) }
  • d.  { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + |1\rangle\right) } and  { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - |1\rangle\right) }
  • e.  { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - |1\rangle\right) } and  { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|1\rangle - |0\rangle\right) }
  • f.  { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + \textbf{i}|1\rangle\right) } and  { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\textbf{i}|1\rangle - |0\rangle\right) }
  • g.  { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle + |-\rangle\right) } and  { |0\rangle }
  • h.  { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\textbf{i}\rangle - |-\textbf{i}\rangle\right) } and  { |1\rangle }
  • i.  { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\textbf{i}\rangle + |-\textbf{i}\rangle\right) } and  { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|-\rangle + |+\rangle\right) }
  • j.  { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + e^{\textbf{i}\pi/4}|1\rangle\right) } and  { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(e^{-\textbf{i}\pi/4}|0\rangle + |1\rangle\right) }

補足
 { \textbf{i} }虚数単位です。 また  { |+\rangle,\,|-\rangle,\,|\textbf{i}\rangle,\,|-\textbf{i}\rangle } は以下で定義されます:

  { \displaystyle\begin{align*}
  |+\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + |1\rangle\right) , &
  |-\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - |1\rangle\right) \\
  |\textbf{i}\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + \textbf{i}|1\rangle\right) , &
  |-\textbf{i}\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - \textbf{i}|1\rangle\right)
\end{align*}}

 { \{|+\rangle,\,|-\rangle \},\,\{|\textbf{i}\rangle,\,|-\textbf{i}\rangle \} } はそれぞれ正規直交基底を成します。

方針
小問の状態の各ペアについて、1つ目と2つ目の状態をそれぞれ  { |x\rangle,\,|y\rangle } とおきましょう。

異なる状態については、それぞれに対して異なる確率を与える測定を書き下して、それらの確率を計算せよ、とありますが、ここでは常に1つ目の状態  { |x\rangle } を基底の1つとする測定を考えることにします。 このとき、 { |x\rangle } は確率1で測定されるので、 { |y\rangle } の確率を計算するだけでいいですが、これは  { \langle x|y \rangle } を計算すれば得られます。 つまり、求める確率を  { P } とすると  { P = \left|\langle x|y \rangle\right|^2 } で与えられます。

2つの状態の内積の絶対値が1のとき、これらの状態は同じ状態なので、結局2つの状態の内積を計算すれば、この問題は概ね解けたことになります。 まぁ、問題のいくつかの状態のペアは、見て明らかに同じ状態のものがあるので、これらは軽く流す感じでいきます。

異なる状態の時には測定を書き下せとあるので、1つ目の状態  { |x\rangle } に直交する状態  { |x^\perp\rangle } も求めておきましょう。 ついでに  { |y^\perp\rangle } も求めます。

a
明らかに同じ状態ですね。 大域位相のずれは  { \pi } { e^{\textbf{i}\pi} = -1 })。

b
これも同じ状態ですね。 大域位相のずれは  { \frac{\pi}{2} }

c
2つの状態を定義済みの状態を使って書くと

  { \displaystyle\begin{align*}
  |x\rangle &= |+\rangle ,&
  |y\rangle &= -|-\textbf{i}\rangle
\end{align*}}

ですね。 内積

  { \displaystyle\begin{align*}
  \langle x|y \rangle
    &= \frac{1}{2}\Big(\langle0|+\langle1|\Big)\Big(-|0\rangle + \textbf{i}|1\rangle\Big) \\
    &= \frac{-1 + \textbf{i}}{2}
\end{align*}}

よって確率  { P }

  { \displaystyle\begin{align*}
  P &= \left|\frac{-1 + \textbf{i}}{2}\right|^2 \\
     &= \frac{1}{2}
\end{align*}}

また

  { \displaystyle\begin{align*}
  |x^\perp\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - |1\rangle\right) && (= |-\rangle) \\
  |y^\perp\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + \textbf{i}|1\rangle\right) && (= |\textbf{i}\rangle)
\end{align*}}

d
2つの状態を定義済みの状態を使って書くと

  { \displaystyle\begin{align*}
  |x\rangle &= |+\rangle ,&
  |y\rangle &= -|-\rangle
\end{align*}}

となります。 内積

  { \displaystyle\begin{align*}
  \langle x|y \rangle
    &= \frac{1}{2}\Big(\langle0|+\langle1|\Big)\Big(|0\rangle - |1\rangle\Big) \\
    &= 0
\end{align*}}

よって確率  { P } は0です。 また

  { \displaystyle\begin{align*}
  |x^\perp\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - |1\rangle\right) && (= |-\rangle) \\
  |y^\perp\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + |1\rangle\right) && (= |+\rangle)
\end{align*}}

まぁ、 { \{ |+\rangle, |-\rangle \} } は正規直交基底を成してるので当然の結果ですね。

e
これらも同じ状態ですね。 大域位相のずれは  { \pi }

f
2つの状態を定義済みの状態を使って書くと

  { \displaystyle\begin{align*}
  |x\rangle &= |\textbf{i}\rangle ,&
  |y\rangle &= -|-\textbf{i}\rangle
\end{align*}}

となります。 内積

  { \displaystyle\begin{align*}
  \langle x|y \rangle
    &= \frac{1}{2}\Big(\langle0|-\textbf{i}\langle1|\Big)\Big(\textbf{i}|1\rangle - |0\rangle\Big) \\
    &= 0
\end{align*}}

よって確率  { P } は0です。 また

  { \displaystyle\begin{align*}
  |x^\perp\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - \textbf{i}|1\rangle\right) && (= |-\textbf{i}\rangle) \\
  |y^\perp\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + \textbf{i}|1\rangle\right) && (= |\textbf{i}\rangle)
\end{align*}}

これも、 { \{ |\textbf{i}\rangle, |-\textbf{i}\rangle \} } が正規直交基底を成してる帰結ですね。

g
 { |x\rangle } を定義済みの状態を使って書くと

  { \displaystyle\begin{align*}
  |x\rangle &= |+\rangle
\end{align*}}

となります。 内積

  { \displaystyle\begin{align*}
  \langle x|y \rangle
    &= \frac{1}{\sqrt{2}}\Big(\langle0| + \langle1|\Big)|0\rangle \\
    &= \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{align*}}

よって確率  { P } { \frac{1}{2} } です。 また

  { \displaystyle\begin{align*}
  |x^\perp\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - |1\rangle\right) && (= |-\rangle) \\
  |y^\perp\rangle &= |1\rangle
\end{align*}}

h
 { |x\rangle } を標準の基底で書き表すと

  { \displaystyle\begin{align*}
  |x\rangle
    &= \frac{1}{\sqrt{2}}\Big(|\textbf{i}\rangle - |-\textbf{i}\rangle \Big) \\
    &= \frac{1}{2}\Big(\left(|0\rangle + \textbf{i}|1\rangle \right) - \left(|0\rangle - \textbf{i}|1\rangle\right)\Big) \\
    &= \textbf{i}|1\rangle
\end{align*}}

となります。 よって2つは同じ状態です。 大域位相のずれは  { -\frac{\pi}{2} }

i
2つの状態を標準の基底で書き表すと

  { \displaystyle\begin{align*}
  |x\rangle
    &= \frac{1}{\sqrt{2}}\Big(|\textbf{i}\rangle + |-\textbf{i}\rangle \Big) \\
    &= |0\rangle \\
  |y\rangle
    &= \frac{1}{\sqrt{2}}\Big(|-\rangle + |+\rangle \Big) \\
    &= |0\rangle
\end{align*}}

となり、これら2つも同じ状態。 大域位相のずれもなし。

j
 { |y\rangle = e^{-\textbf{i}\pi/4} |x\rangle } なので、これらは同じ状態です。 大域位相のずれは  { -\frac{\pi}{4} } です。