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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.3

量子コンピュータ

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

目次はこちら

Exercise 2.3. Which states are superpositions with respect to the standard basis, and which are not? For each state that is a superposition, give a basis with respect to which it is not a superposition.

  • a.  { |+\rangle }
  • b.  { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle + |-\rangle\right) }
  • c.  { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle - |-\rangle\right) }
  • d.  { \frac{\sqrt{3}}{2}|+\rangle + \frac{1}{2}|-\rangle }
  • e.  { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\textbf{i}\rangle - |-\textbf{i}\rangle\right) }
  • f.  { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - |1\rangle\right) }

補足
 { \textbf{i} }虚数単位です。 また  { |+\rangle,\,|-\rangle,\,|\textbf{i}\rangle,\,|-\textbf{i}\rangle } は以下で定義されます:

  { \displaystyle\begin{align*}
  |+\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + |1\rangle\right) , &
  |-\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - |1\rangle\right) \\
  |\textbf{i}\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + \textbf{i}|1\rangle\right) , &
  |-\textbf{i}\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - \textbf{i}|1\rangle\right)
\end{align*}}

 { \{|+\rangle,\,|-\rangle \},\,\{|\textbf{i}\rangle,\,|-\textbf{i}\rangle \} } はそれぞれ正規直交基底を成します。

a
{ |+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + |1\rangle\right) } より、これは重ね合わせ状態。 これに直交する状態は  { |-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - |1\rangle\right) }

b
  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle + |-\rangle\right) = |0\rangle
\end{align*}}

より、これは重ね合わせ状態ではない。

c
  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle - |-\rangle\right) = |1\rangle
\end{align*}}

より、これは重ね合わせ状態ではない。

d
  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{\sqrt{3}}{2}|+\rangle - \frac{1}{2}|-\rangle
    = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}|0\rangle + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}|1\rangle
\end{align*}}

より、これは重ね合わせ状態。 直交する状態は

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{1}{2}|+\rangle +\frac{\sqrt{3}}{2}|-\rangle
    = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}|0\rangle - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}|1\rangle
\end{align*}}

e
  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\textbf{i}\rangle - |-\textbf{i}\rangle\right)
    = \textbf{i}|1\rangle
\end{align*}}

より、これは重ね合わせ状態ではない。

f
 { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - |1\rangle\right) } は重ね合わせ状態。 直交する状態は  { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + |1\rangle\right) }