倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ！

トップ > 量子コンピューティング > 『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.4

『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.4

量子コンピューティング

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

目次はこちら。

Exercise 2.4. Which of the states in 2.3 are superpositions with respect to the Hadamard basis, and which are not?

補足
{ \textbf{i} } は虚数単位です。　また { |+\rangle,\,|-\rangle,\,|\textbf{i}\rangle,\,|-\textbf{i}\rangle } は以下で定義されます：

　　{ \displaystyle\begin{align*} |+\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + |1\rangle\right) , & |-\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - |1\rangle\right) \\ |\textbf{i}\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + \textbf{i}|1\rangle\right) , & |-\textbf{i}\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - \textbf{i}|1\rangle\right) \end{align*}}

{ \{|+\rangle,\,|-\rangle \},\,\{|\textbf{i}\rangle,\,|-\textbf{i}\rangle \} } はそれぞれ正規直交基底を成します。　前者はアダマール基底と呼ばれます。　標準の基底をアダマール基底で表すと

　　{ \displaystyle\begin{align*} |0\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle + |-\rangle\right) \\ |1\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle - |-\rangle\right) \end{align*}}

となります。　また、前問で与えられている状態は以下の通り：

  • a. { |+\rangle }
  • b. { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle + |-\rangle\right) }
  • c. { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle - |-\rangle\right) }
  • d. { \frac{\sqrt{3}}{2}|+\rangle + \frac{1}{2}|-\rangle }
  • e. { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\textbf{i}\rangle - |-\textbf{i}\rangle\right) }
  • f. { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - |1\rangle\right) }

a
{ |+\rangle } は重ね合わせ状態ではない。

b
{ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle + |-\rangle\right)} は重ね合わせ状態。

c
{ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle - |-\rangle\right)} は重ね合わせ状態。

d
{ \frac{\sqrt{3}}{2}|+\rangle - \frac{1}{2}|-\rangle} は重ね合わせ状態。

e
　　{ \displaystyle\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\textbf{i}\rangle - |-\textbf{i}\rangle\right) &= \textbf{i}|1\rangle \\ &= \frac{\textbf{i}}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle - |-\rangle\right) \end{align*}}

よってこれは重ね合わせ状態。

f
{ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - |1\rangle\right) = |-\rangle } は重ね合わせ状態ではない。

waman 読者になる

コメントを書く