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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.4

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

目次はこちら

Exercise 2.4. Which of the states in 2.3 are superpositions with respect to the Hadamard basis, and which are not?

補足
 { \textbf{i} }虚数単位です。 また  { |+\rangle,\,|-\rangle,\,|\textbf{i}\rangle,\,|-\textbf{i}\rangle } は以下で定義されます:

  { \displaystyle\begin{align*}
  |+\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + |1\rangle\right) , &
  |-\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - |1\rangle\right) \\
  |\textbf{i}\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + \textbf{i}|1\rangle\right) , &
  |-\textbf{i}\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - \textbf{i}|1\rangle\right)
\end{align*}}

 { \{|+\rangle,\,|-\rangle \},\,\{|\textbf{i}\rangle,\,|-\textbf{i}\rangle \} } はそれぞれ正規直交基底を成します。 前者はアダマール基底と呼ばれます。 標準の基底をアダマール基底で表すと

  { \displaystyle\begin{align*}
  |0\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle + |-\rangle\right) \\
  |1\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle - |-\rangle\right)
\end{align*}}

となります。 また、前問で与えられている状態は以下の通り:

  • a.  { |+\rangle }
  • b.  { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle + |-\rangle\right) }
  • c.  { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle - |-\rangle\right) }
  • d.  { \frac{\sqrt{3}}{2}|+\rangle + \frac{1}{2}|-\rangle }
  • e.  { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\textbf{i}\rangle - |-\textbf{i}\rangle\right) }
  • f.  { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - |1\rangle\right) }

a
 { |+\rangle } は重ね合わせ状態ではない。

b
 { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle + |-\rangle\right)} は重ね合わせ状態。

c
 { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle - |-\rangle\right)} は重ね合わせ状態。

d
 { \frac{\sqrt{3}}{2}|+\rangle - \frac{1}{2}|-\rangle} は重ね合わせ状態。

e
  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\textbf{i}\rangle - |-\textbf{i}\rangle\right)
    &= \textbf{i}|1\rangle \\
    &= \frac{\textbf{i}}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle - |-\rangle\right)
\end{align*}}

よってこれは重ね合わせ状態。

f
 { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - |1\rangle\right) = |-\rangle } は重ね合わせ状態ではない。