『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.5

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

作者: Eleanor G. Rieffel,Wolfgang H. Polak
出版社/メーカー: The MIT Press
発売日: 2011/03/04
メディア: Kindle版
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Exercise 2.5. Give the set of all values of ${ \theta }$ for which the following pairs of states are equivalent.

a. ${ |1\rangle }$ and ${ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle + e^{\textbf{i}\theta}|-\rangle\right) }$

b. ${ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\textbf{i}\rangle + e^{\textbf{i}\theta}|-\textbf{i}\rangle\right) }$ and ${ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|-\textbf{i}\rangle + e^{-\textbf{i}\theta}|\textbf{i}\rangle\right) }$

c. ${ \frac{1}{2}|0\rangle - \frac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle }$ and ${ e^{\textbf{i}\theta}\left(\frac{1}{2}|0\rangle - \frac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle\right) }$

補足

${ \textbf{i} }$ は虚数単位です。　また ${ |+\rangle,\,|-\rangle,\,|\textbf{i}\rangle,\,|-\textbf{i}\rangle }$ は以下で定義されます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |+\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + |1\rangle\right) , & |-\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - |1\rangle\right) \\ |\textbf{i}\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + \textbf{i}|1\rangle\right) , & |-\textbf{i}\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - \textbf{i}|1\rangle\right) \end{align*}}$

${ \{|+\rangle,\,|-\rangle \},\,\{|\textbf{i}\rangle,\,|-\textbf{i}\rangle \} }$ はそれぞれ正規直交基底を成します。

a

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle - |-\rangle\right) \end{align*}}$

より、 ${ e^{\textbf{i}\theta} = -1 }$ 、すなわち ${ \theta = \pi }$ であれば2つの状態は同じになります。

b

2つ目の状態は以下のように変形できます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|-\textbf{i}\rangle + e^{-\textbf{i}\theta}|\textbf{i}\rangle\right) &= \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\textbf{i}\theta}\left(|\textbf{i}\rangle + e^{\textbf{i}\theta}|-\textbf{i}\rangle\right) \end{align*}}$

よって、任意の実数 ${ \theta }$ について2つの状態は同じになります。　規格化されていない状態も許せば、任意の複素数 ${ \theta }$ でも同じ状態となります。

c
${ \theta }$ は大域位相にしか効いてこないので、任意の実数 ${ \theta }$ について2つの状態は同じになります。　規格化されていない状態も許せば、任意の複素数 ${ \theta }$ でも同じ状態となります。

倭算数理研究所

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.5

補足

a

b