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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.5

量子コンピュータ

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

目次はこちら

Exercise 2.5. Give the set of all values of  { \theta } for which the following pairs of states are equivalent.

  • a.  { |1\rangle } and  { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle + e^{\textbf{i}\theta}|-\rangle\right) }
  • b.  { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\textbf{i}\rangle + e^{\textbf{i}\theta}|-\textbf{i}\rangle\right) } and  { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|-\textbf{i}\rangle + e^{-\textbf{i}\theta}|\textbf{i}\rangle\right) }
  • c.  { \frac{1}{2}|0\rangle - \frac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle } and  { e^{\textbf{i}\theta}\left(\frac{1}{2}|0\rangle - \frac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle\right) }

補足
 { \textbf{i} }虚数単位です。 また  { |+\rangle,\,|-\rangle,\,|\textbf{i}\rangle,\,|-\textbf{i}\rangle } は以下で定義されます:

  { \displaystyle\begin{align*}
  |+\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + |1\rangle\right) , &
  |-\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - |1\rangle\right) \\
  |\textbf{i}\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + \textbf{i}|1\rangle\right) , &
  |-\textbf{i}\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - \textbf{i}|1\rangle\right)
\end{align*}}

 { \{|+\rangle,\,|-\rangle \},\,\{|\textbf{i}\rangle,\,|-\textbf{i}\rangle \} } はそれぞれ正規直交基底を成します。

a
  { \displaystyle\begin{align*}
  |1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle - |-\rangle\right)
\end{align*}}

より、 { e^{\textbf{i}\theta} = -1 }、すなわち  { \theta = \pi } であれば2つの状態は同じになります。

b
2つ目の状態は以下のように変形できます:

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|-\textbf{i}\rangle + e^{-\textbf{i}\theta}|\textbf{i}\rangle\right)
    &= \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\textbf{i}\theta}\left(|\textbf{i}\rangle + e^{\textbf{i}\theta}|-\textbf{i}\rangle\right)
\end{align*}}

よって、任意の実数  { \theta } について2つの状態は同じになります。 規格化されていない状態も許せば、任意の複素数  { \theta } でも同じ状態となります。

c
 { \theta } は大域位相にしか効いてこないので、任意の実数  { \theta } について2つの状態は同じになります。 規格化されていない状態も許せば、任意の複素数  { \theta } でも同じ状態となります。