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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.6

量子コンピュータ

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

目次はこちら

Exercise 2.6. For each pair consisting of a state and a measurement basis, describe the possible measurement outcomes and give the probability for each outcome.

  • a. { \frac{\sqrt{3}}{2}|0\rangle - \frac{1}{2}|1\rangle,\quad \{|0\rangle,\,|1\rangle\} }
  • b. { \frac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle - \frac{1}{2}|0\rangle,\quad \{|0\rangle,\,|1\rangle\} }
  • c. { |-\textbf{i}\rangle,\quad \{|0\rangle,\,|1\rangle\} }
  • d. { |0\rangle,\quad \{|+\rangle,\,|-\rangle\} }
  • e. { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - |1\rangle\right),\quad \{|\textbf{i}\rangle,\,|-\textbf{i}\rangle\} }
  • f. { |1\rangle,\quad \{|\textbf{i}\rangle,\,|-\textbf{i}\rangle\} }
  • g. { |+\rangle,\quad \{\frac{1}{2}|0\rangle+\frac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle,\,\frac{\sqrt{3}}{2}|0\rangle - \frac{1}{2}|1\rangle\} }

補足
 { \textbf{i} }虚数単位です。 また  { |+\rangle,\,|-\rangle,\,|\textbf{i}\rangle,\,|-\textbf{i}\rangle } は以下で定義されます:

  { \displaystyle\begin{align*}
  |+\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + |1\rangle\right) , &
  |-\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - |1\rangle\right) \\
  |\textbf{i}\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + \textbf{i}|1\rangle\right) , &
  |-\textbf{i}\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - \textbf{i}|1\rangle\right)
\end{align*}}

 { \{|+\rangle,\,|-\rangle \},\,\{|\textbf{i}\rangle,\,|-\textbf{i}\rangle \} } はそれぞれ正規直交基底を成します。

方針
各設問に対して、与えられた状態を  { |\psi\rangle }、測定の基底を順に  { |x\rangle,\,|y\rangle } とおくと、状態  { |x\rangle } が測定される確率は  { |\langle x|\psi \rangle|^2 }、状態  { |y\rangle } が測定される確率は  { |\langle y|\psi \rangle|^2 } となります。 これらの確率をそれぞれ  { p_x,\,p_y } とおきましょう。

a
最初なので丁寧にやっておきましょう:

  { \displaystyle\begin{align*}
  p_x &= \left|\langle 0| \Big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}|0\rangle - \tfrac{1}{2}|1\rangle\Big)\right|^2 \\
    &= \left|\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right|^2 \\
    &= \frac{3}{4} \\[2mm]
  p_y &= \left|\langle 1| \Big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}|0\rangle - \tfrac{1}{2}|1\rangle\Big)\right|^2 \\
    &= \left|\tfrac{1}{2}\right|^2 \\
    &= \frac{1}{4}
\end{align*}}

まぁ、単に内積を計算して絶対値の自乗をとるだけですね。 補足で定義済みの状態しかない場合は暗算で充分計算可能そうなので、次問からそうしましょう。

b
  { \displaystyle\begin{align*}
  p_x &= \frac{1}{4},& p_y &= \frac{3}{4}
\end{align*}}

c
  { \displaystyle\begin{align*}
  p_x &= \frac{1}{2},& p_y &= \frac{1}{2}
\end{align*}}

d
  { \displaystyle\begin{align*}
  p_x &= \frac{1}{2},& p_y &= \frac{1}{2}
\end{align*}}

e
これはきちんと計算しましょうか。

  { \displaystyle\begin{align*}
  p_x &= \left|\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Big(\langle 0| - \langle 1|\Big)|\textbf{i}\rangle\right|^2 \\
    &= \left|\tfrac{1}{2}\Big(\langle 0| - \langle 1|\Big)\Big(|0\rangle + \textbf{i}|1\rangle\Big)\right|^2 \\
    &= \left|\frac{1-\textbf{i}}{2}\right|^2 \\
    &= \frac{1}{2} \\[2mm]
  p_y &= \left|\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Big(\langle 0| - \langle 1|\Big)|-\textbf{i}\rangle\right|^2 \\
    &= \left|\tfrac{1}{2}\Big(\langle 0| - \langle 1|\Big)\Big(|0\rangle - \textbf{i}|1\rangle\Big)\right|^2 \\
    &= \left|\frac{1+\textbf{i}}{2}\right|^2 \\
    &= \frac{1}{2}
\end{align*}}

f
  { \displaystyle\begin{align*}
  p_x &= \frac{1}{2},& p_y &= \frac{1}{2}
\end{align*}}

g
  { \displaystyle\begin{align*}
  p_x &= \left|\langle +|\Big(\tfrac{1}{2}|0\rangle + \tfrac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle\Big)\right|^2 \\
    &= \left|\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Big(\langle 0| + \langle 1|\Big)\Big(\tfrac{1}{2}|0\rangle
      + \tfrac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle\Big)\right|^2 \\
    &= \left|\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}\right|^2 \\
    &= \frac{4+2\sqrt{3}}{8} \\
    &= \frac{2+\sqrt{3}}{4} \\[2mm]
  p_y &= \left|\langle +|\Big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}|0\rangle - \tfrac{1}{2}|1\rangle\Big)\right|^2 \\
    &= \left|\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Big(\langle 0| + \langle 1|\Big)\Big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}|0\rangle
      - \tfrac{1}{2}|1\rangle\Big)\right|^2 \\
    &= \left|\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\right|^2 \\
    &= \frac{4-2\sqrt{3}}{8} \\
    &= \frac{2-\sqrt{3}}{4}
\end{align*}}