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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.7

量子コンピュータ

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

目次はこちら

Exercise 2.7. For each of the following states, describe all orthonormal bases that include that state.

  • a.  { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + \textbf{i}|1\rangle\right) }
  • b.  { \frac{1+\textbf{i}}{2}|0\rangle - \frac{1-\textbf{i}}{2}|1\rangle }
  • c.  { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + e^{\textbf{i}\pi/6}|1\rangle\right) }
  • d.  { \frac{1}{2}|+\rangle - \frac{\textbf{i}\sqrt{3}}{2}|-\rangle }

補足
 { \textbf{i} }虚数単位です。 また  { |+\rangle,\,|-\rangle,\,|\textbf{i}\rangle,\,|-\textbf{i}\rangle } は以下で定義されます:

  { \displaystyle\begin{align*}
  |+\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + |1\rangle\right) , &
  |-\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - |1\rangle\right) \\
  |\textbf{i}\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + \textbf{i}|1\rangle\right) , &
  |-\textbf{i}\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - \textbf{i}|1\rangle\right)
\end{align*}}

 { \{|+\rangle,\,|-\rangle \},\,\{|\textbf{i}\rangle,\,|-\textbf{i}\rangle \} } はそれぞれ正規直交基底を成します。

方針
 { a,\,b } { |a|^2+|b|^2 = 1 } を満たす複素数として、規格化された状態  { a|0\rangle + b|1\rangle } に直交する規格化された状態は  { \bar{b}|0\rangle - \bar{a}|1\rangle } で与えられます( { \bar{x} } { x }複素共役)。 実際、これら2つの状態の内積をとると

  { \displaystyle\begin{align*}
  \Big(a|0\rangle + b|1\rangle\Big)^\dagger\Big(\bar{b}|0\rangle - \bar{a}|1\rangle\Big)
    &= \Big(\bar{a}\langle0| + \bar{b}\langle1|\Big)\Big(\bar{b}|0\rangle - \bar{a}|1\rangle\Big) \\
    &= \bar{a}\bar{b} - \bar{b}\bar{a} \\
    &= 0
\end{align*}}

また、自身との内積

  { \displaystyle\begin{align*}
  \Big(b\langle0| - a\langle1|\Big)\Big(\bar{b}|0\rangle - \bar{a}|1\rangle\Big)
    &= b\bar{b} + a\bar{a} \\
    &= 1
\end{align*}}

となって、規格化されていることも分かります(直交する状態がこれしかないという証明はしてませんが、2状態系だと他にないでしょう)。

以下では、与えられた状態に直交する状態のみを求め(問題では指定した状態を含む基底を求めよとありますが)、それを  { |\psi^\perp\rangle } とします。 また、大域位相のみを買えるときは「=」の代わりに「 { \sim }」を用いて式をつなげます。

a
  { \displaystyle\begin{align*}
  |\psi^\perp\rangle
    &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(-\textbf{i}|0\rangle - |1\rangle\right) \\
    &\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - \textbf{i}|1\rangle\right) \\
    &= |-\textbf{i}\rangle
\end{align*}}

b
  { \displaystyle\begin{align*}
  |\psi^\perp\rangle
    &= -\frac{1+\textbf{i}}{2}|0\rangle - \frac{1-\textbf{i}}{2}|1\rangle \\
    &\sim \frac{1+\textbf{i}}{2}|0\rangle + \frac{1-\textbf{i}}{2}|1\rangle
\end{align*}}

c
  { \displaystyle\begin{align*}
  |\psi^\perp\rangle
    &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(e^{-\textbf{i}\pi/6}|0\rangle - |1\rangle\right) \\
    &\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - e^{\textbf{i}\pi/6}|1\rangle\right)
\end{align*}}

d
方針の箇所の議論は、標準基底  { \{|0\rangle,\,|1\rangle\} } だけでなく、任意の正規直交基底に対して成り立つので、基底  { \{ |+\rangle,\,|-\rangle \} } に適用して

  { \displaystyle\begin{align*}
  |\psi^\perp\rangle
    &= \frac{\textbf{i}\sqrt{3}}{2}|+\rangle - \frac{1}{2}|-\rangle \\
    &\sim \frac{\sqrt{3}}{2}|+\rangle + \frac{\textbf{i}}{2}|-\rangle
\end{align*}}