『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.7

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

作者: Eleanor G. Rieffel,Wolfgang H. Polak
出版社/メーカー: The MIT Press
発売日: 2011/03/04
メディア: Kindle版
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Exercise 2.7. For each of the following states, describe all orthonormal bases that include that state.

a. ${ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + \textbf{i}|1\rangle\right) }$

b. ${ \frac{1+\textbf{i}}{2}|0\rangle - \frac{1-\textbf{i}}{2}|1\rangle }$

c. ${ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + e^{\textbf{i}\pi/6}|1\rangle\right) }$

d. ${ \frac{1}{2}|+\rangle - \frac{\textbf{i}\sqrt{3}}{2}|-\rangle }$

補足

${ \textbf{i} }$ は虚数単位です。　また ${ |+\rangle,\,|-\rangle,\,|\textbf{i}\rangle,\,|-\textbf{i}\rangle }$ は以下で定義されます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |+\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + |1\rangle\right) , & |-\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - |1\rangle\right) \\ |\textbf{i}\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + \textbf{i}|1\rangle\right) , & |-\textbf{i}\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - \textbf{i}|1\rangle\right) \end{align*}}$

${ \{|+\rangle,\,|-\rangle \},\,\{|\textbf{i}\rangle,\,|-\textbf{i}\rangle \} }$ はそれぞれ正規直交基底を成します。

方針

${ a,\,b }$ を ${ |a|^2+|b|^2 = 1 }$ を満たす複素数として、規格化された状態 ${ a|0\rangle + b|1\rangle }$ に直交する規格化された状態は ${ \bar{b}|0\rangle - \bar{a}|1\rangle }$ で与えられます（ ${ \bar{x} }$ は ${ x }$ の複素共役）。　実際、これら2つの状態の内積をとると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \Big(a|0\rangle + b|1\rangle\Big)^\dagger\Big(\bar{b}|0\rangle - \bar{a}|1\rangle\Big) &= \Big(\bar{a}\langle0| + \bar{b}\langle1|\Big)\Big(\bar{b}|0\rangle - \bar{a}|1\rangle\Big) \\ &= \bar{a}\bar{b} - \bar{b}\bar{a} \\ &= 0 \end{align*}}$

また、自身との内積は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \Big(b\langle0| - a\langle1|\Big)\Big(\bar{b}|0\rangle - \bar{a}|1\rangle\Big) &= b\bar{b} + a\bar{a} \\ &= 1 \end{align*}}$

となって、規格化されていることも分かります（直交する状態がこれしかないという証明はしてませんが、2状態系だと他にないでしょう）。

以下では、与えられた状態に直交する状態のみを求め（問題では指定した状態を含む基底を求めよとありますが）、それを ${ |\psi^\perp\rangle }$ とします。　また、大域位相のみを買えるときは「=」の代わりに「 ${ \sim }$ 」を用いて式をつなげます。

a

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |\psi^\perp\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(-\textbf{i}|0\rangle - |1\rangle\right) \\ &\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - \textbf{i}|1\rangle\right) \\ &= |-\textbf{i}\rangle \end{align*}}$

b

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |\psi^\perp\rangle &= -\frac{1+\textbf{i}}{2}|0\rangle - \frac{1-\textbf{i}}{2}|1\rangle \\ &\sim \frac{1+\textbf{i}}{2}|0\rangle + \frac{1-\textbf{i}}{2}|1\rangle \end{align*}}$

c

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |\psi^\perp\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(e^{-\textbf{i}\pi/6}|0\rangle - |1\rangle\right) \\ &\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - e^{\textbf{i}\pi/6}|1\rangle\right) \end{align*}}$

d

方針の箇所の議論は、標準基底 ${ \{|0\rangle,\,|1\rangle\} }$ だけでなく、任意の正規直交基底に対して成り立つので、基底 ${ \{ |+\rangle,\,|-\rangle \} }$ に適用して

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |\psi^\perp\rangle &= \frac{\textbf{i}\sqrt{3}}{2}|+\rangle - \frac{1}{2}|-\rangle \\ &\sim \frac{\sqrt{3}}{2}|+\rangle + \frac{\textbf{i}}{2}|-\rangle \end{align*}}$

倭算数理研究所

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.7

補足

方針

a

b

c

d