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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.8

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

目次はこちら

Exercise 2.8. Alice is confused. She understands that  { |1\rangle } and  { -|1\rangle } represent the same state. But she does not understand why that does not imply that  { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + |1\rangle\right) } and  { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - |1\rangle\right) } would be the same state. Can you help her out?

大域位相と相対位相を区別しよう、というだけでは足りないかな?

「2つの状態が等しい」というのを、(それぞれの状態が規格化されているとして)それらの状態の間での遷移確率が1となることとしましょう*1。 

このとき、 { |0\rangle } { -|0\rangle } との遷移確率は

  { \displaystyle\begin{align*}
  \left|\langle 0| \Big(-|0\rangle\Big)\right|^2
    &= \left|-1\right|^2 \\
    &= 1
\end{align*}}

となって、 { |0\rangle } { -|0\rangle } は同じ状態であることが分かります。

一方、 { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + |1\rangle\right) } { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - |1\rangle\right) } との遷移確率は

  { \displaystyle\begin{align*}
  \left|\frac{1}{2}\left(\langle 0| + \langle 1|\right)\left(|0\rangle - |1\rangle\right)\right|^2
    &= 0 \ne 1
\end{align*}}

となって、この2つの状態は同じではないことが分かります。

*1:数学的な同値関係であることを示す場合、推移律をどう示せばいいのか・・・ 状態の完全系を用意すればまぁできると思うけど。