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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.9

量子コンピュータ

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

目次はこちら

Exercise 2.9. In the BB84 protocol, how many bits do Alic and Bob need to compare to have a 90 percent chance of detecting Eve's presence?

 { \{ |0\rangle,\,|1\rangle \} } を標準基底、 { \{ |+\rangle,\,|-\rangle \} }アダマール基底と呼びます。

アリスがボブに 1 qubit を送る場合を考えます。 説明を具体的にするために、アリスが送る qubit を  { |0\rangle } としましょう(系の対称性より、他の状態を送っても対応する状態を変えれば確率は同じになります)。

  • ボブが標準基底で測定する確率は50%。
  • ボブが標準基底で測定するとき、イヴが
    • 標準基底で測定する確率は50%で、このときイヴは正しい状態  { |0\rangle } を測定し、それをボブに送るとボブは盗聴されたことに気付かない
    • アダマール基底で測定する確率は50%で
      • 測定結果が  { |+\rangle } の場合は50%、これをボブに送ったとき、ボブが
        •  { |0\rangle } を測定する確率は50%で、このときボブは盗聴されたことに気付かない。
        •  { |1\rangle } を測定する確率は50%で、このときボブは盗聴されたことに気付く
      • 測定結果が  { |-\rangle } の場合は50%、以下は  { |+\rangle } を測定したときと同じ。

以上をもう少し詳しくして表にまとめると、アリスが  { |0\rangle } を送ったとき、ボブにとって

イヴ \ ボブ 0 1 + -
0 盗聴×
ビット値× (25%)
ビット破棄
(12.5%)
ビット破棄
(12.5%)
1
+ 盗聴×
ビット値○ (6.25%)
盗聴○
(6.25%)
ビット破棄
(12.5%)
- 盗聴×
ビット値○ (6.25%)
盗聴○
(6.25%)
ビット破棄
(12.5%)

となります。 

  • 「盗聴○/×」は盗聴されたことに気付く/気付かない、「ビット値○/×」はビット値の正しい値が知られない/知られるです(○×はボブにとっての善し悪しです)。
  • 空欄は起こらない場合です。
  • 括弧内はそれらの過程が起こる確率で、アリスとボブの基底が異なってビットを破棄する場合も含めて全部で100%になります。

イヴが盗聴していることに気付く確率 この問題では、イヴが正しいビットを得るかどうかは関係なく、ボブが盗聴されていることに気付くかどうかだけを気にするだけでかまいません。 イヴがアダマール基底で測定したときは、得られた測定値( { |+\rangle,\,|-\rangle })に関係なく50%の確率でボブが盗聴されていることに気付きます(表の太字の箇所)。 つまり

  • ボブが標準基底で測定する
  • イヴがアダマール基底で測定する
  • ボブが測定値として  { |1\rangle } を得る

のがそれぞれ50%なので、ボブが盗聴されていることに気付く確率は1 qubit につき12.5%  { \left(= \frac{1}{8}\right) } となります。 ただし、破棄するビットを含めない条件での条件付き確率は(ビットを破棄しない確率は 50% なので)

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{12.5\%}{50\%} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4}
\end{align*}}

となります。

アリスとボブの基底が一致して残った  { n } 個の qubit を考えると、1つの qubit ででもボブが盗聴に気付けば全体として盗聴に気付くので、ボブが盗聴に気付く確率  { P_n }

  { \displaystyle\begin{align*}
 P_n = 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^n
\end{align*}}

となります。 これが90%を超えるのは

  •  { P_{8} \fallingdotseq 0.899887 }
  •  { P_{9} \fallingdotseq 0.9249153 }

より  { n = 9 } であることが分かります。

イヴの盗聴したビットの値が正しい確率 問題では問われていませんが、次問、次々問で問われている確率なので、比較のためにこの場合でのこの確率を計算しておきましょう。 この確率は、ボブがビットを破棄せず盗聴に気付かない(正しいビット値を得る)条件の下での、イヴが正しいビットを得る確率です。

ボブがビットを破棄せずに盗聴に気付かない確率は、上記の表でボブが0を得る列(1列目)の確率の合計なので

  { \displaystyle\begin{align*}
  25\% + 6.25\% + 6.25\%
    &= \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} \\
    &= \frac{3}{8}
\end{align*}}

また、イヴは  { |0\rangle,\,|+\rangle } を「0」とエンコードするとして、イヴが正しいビットを得る確率は、上記の表でボブが0の列でイヴが 0, + の欄の合計となるので

  { \displaystyle\begin{align*}
  25\% + 6.25\%
    &= \frac{1}{4} + \frac{1}{16} \\
    &= \frac{5}{16}
\end{align*}}

よって、求める確率  { p }

  { \displaystyle\begin{align*}
  p &= \frac{\frac{5}{16}}{\frac{3}{8}} \\
     &= \frac{5}{6} \fallingdotseq 0.833
\end{align*}}

となり約 83.3% となります。

【追記・修正】

  • 表を追記しました。
  • アリスとボブが盗聴に気付くために比べるビット数には、測定する基底が異なって破棄したビットは含めないようなので修正しました。
  • 「イヴの盗聴したビットの値が正しい確率」の箇所を追記しました。