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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.12

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

目次はこちら

Exercise 2.12. Bloch Sphere: Spherical coordinates:

  • a. Show that the surface of the Bloch sphere can be parametrized in terms of tow real-valued parameters, the angles  { \theta } and  { \phi } illustrated in figure 2.7. Make sure your parametrization is in one-to-one correspondence with points on the sphere, and therefore single-qubit quantum states, in the range  { \theta \in [0,\,\pi] } and  { \phi \in [0,\,\pi] } except for the points corresponding to  { |0\rangle } and  { |1\rangle }.
  • b. What are  { \theta } and  { \phi }for each of the states  { |+\rangle,\,|-\rangle,\,|\textbf{i}\rangle } and  { |-\textbf{i}\rangle }?

補足
 { \textbf{i} }虚数単位です。 また  { |+\rangle,\,|-\rangle,\,|\textbf{i}\rangle,\,|-\textbf{i}\rangle } は以下で定義されます:

  { \displaystyle\begin{align*}
  |+\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + |1\rangle\right) , &
  |-\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - |1\rangle\right) \\
  |\textbf{i}\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + \textbf{i}|1\rangle\right) , &
  |-\textbf{i}\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - \textbf{i}|1\rangle\right)
\end{align*}}

 { \{|+\rangle,\,|-\rangle \},\,\{|\textbf{i}\rangle,\,|-\textbf{i}\rangle \} } はそれぞれ正規直交基底を成します。

a.
ブロッホ球面の図を眺めていればどのようなパラメータ化をすればいいかはある程度直感的に分かりますが、ここでは少しブロッホ球面とは違うところから出発してパラメータ化を導出してみましょう。

2状態系の重ね合わせ状態  { |\psi\rangle } は、2つの複素係数  { a,\,b } を用いて

  { \displaystyle\begin{align*}
  |\psi\rangle = a|0\rangle + b|1\rangle
\end{align*}}

と書けます。 ただし、任意の  { a,\,b } に対して異なる状態が得られるわけではないので、これが一意となるような制限を考えましょう。 まず、 { |\psi\rangle } のノルムが1になることから

  { \displaystyle\begin{align*}
  \langle\psi|\psi\rangle
    &= |a|^2 + |b|^2 = 1 \cdots (*)
\end{align*}}

また、大域位相を固定するために  { a } を0以上の実数とします( { a } が負の実数の場合は-1でくくれば大域位相となる)。 このとき  { a = a_r + a_i\textbf{i}},  { b = b_r + b_i\textbf{i} } { a_r,\,a_i,\,b_r,\,b_i } は実数)とおくと、この制限は  { a_r \geqq 0,\,a_i = 0 } となって、(*) 式は

  { \displaystyle\begin{align*}
  a_r^2 + b_r^2 + b_i^2 = 1 \qquad (a_r \geqq 0)
\end{align*}}

と書き換えられます。 これは2次元の半球となるので(ブロッホ球面とは異なります)、 { a_r,\,b_r,\,b_i } をそれぞれ  { z,\,x,\,y } 軸とする通常の球面のパラメータ化を行うと

  { \displaystyle\begin{align*}
  \begin{cases}
    a_r &= \cos\vartheta \\
    b_r &= \sin\vartheta\cos\phi \\
    b_i &= \sin\vartheta\sin\phi
  \end{cases} \qquad
  \left(\begin{array}{c}
    0 \leqq \vartheta \leqq \tfrac{\pi}{2} \\
    0 \leqq \phi \leqq 2\pi
  \end{array}\right)
\end{align*}}

となります。 ここで  { \theta = \frac{\vartheta}{2} } によって変数  { \theta } を導入すると

  { \displaystyle\begin{align*}
  \begin{cases}
    a_r &= \cos\tfrac{\theta}{2} \\
    b_r &= \sin\tfrac{\theta}{2}\cos\phi \\
    b_i &= \sin\tfrac{\theta}{2}\sin\phi
  \end{cases} \qquad
  \left(\begin{array}{c}
    0 \leqq \theta \leqq \pi \\
    0 \leqq \phi \leqq 2\pi
  \end{array}\right)\end{align*}}

となります。 このパラメータ化を使うと  { |\psi\rangle = a|0\rangle + b|1\rangle } は(改めて  { |\theta,\,\phi\rangle } と書いて)

  { \displaystyle\begin{align*}
  |\theta,\,\phi\rangle
    &= \cos\tfrac{\theta}{2} |0\rangle
      + \left(\sin\tfrac{\theta}{2}\cos\phi + \textbf{i}\sin\tfrac{\theta}{2}\sin\phi\right)|1\rangle \\
    &= \cos\tfrac{\theta}{2} |0\rangle + e^{\textbf{i}\phi}\sin\tfrac{\theta}{2}|1\rangle
\end{align*}}

を得ます。

補足

問題としては問われていませんが、 { |\theta,\,\varphi\rangle } に直交する状態  { |\theta,\,\phi\,^\perp\rangle }

  { \displaystyle\begin{align*}
  |\theta,\,\phi\,^\perp\rangle
    &= |\pi - \theta,\,\phi + \pi \rangle \\
    &= \sin\tfrac{\theta}{2} |0\rangle - e^{\textbf{i}\phi} \cos\tfrac{\theta}{2}|1\rangle
\end{align*}}

となります。 また、 { |0\rangle, |1\rangle } { |\theta,\,\varphi\rangle } で表すと

  { \displaystyle\begin{align*}
  |0\rangle &= |0,\,\phi\rangle, &
  |-\rangle &= |\pi,\,\phi\rangle \\
\end{align*}}

です。  { \phi } は任意なのでこの場合はパラメータの値が一意に定まらず、そのため問題ではこの2つを一意に決まる場合から除外しているんですね。

b.
  { \displaystyle\begin{align*}
  |+\rangle &= |\tfrac{\pi}{2},\,0\rangle, &
  |-\rangle &= |\tfrac{\pi}{2},\,\pi\rangle \\
  |\textbf{i}\rangle &= |\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{\pi}{2}\rangle, &
  |-\textbf{i}\rangle &= |\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{3\pi}{2}\rangle
\end{align*}}