読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.14

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

目次はこちら

Exercise 2.14.

  • a. Show that antipodal points on the surface of the Bloch sphere represent orthogonal states.
  • b. Show that any two orthorgonal states correspond to antipodal point.

a.
状態  { |0\rangle,\,|1\rangle } については明らか。 状態

  { \displaystyle\begin{align*}
  |\theta,\,\phi\rangle = \cos\tfrac{\theta}{2}|0\rangle + e^{\textbf{i}\phi}\sin\tfrac{\theta}{2} |1>
\end{align*}}

の対極にある状態は  { |\pi-\theta,\,\phi+\pi\rangle } で与えられます。 この状態を標準基底で書き下すと

  { \displaystyle\begin{align*}
  |\pi-\theta,\,\phi+\pi\rangle
    &= \cos\tfrac{\pi-\theta}{2}|0\rangle + e^{\textbf{i}(\phi+\pi)}\sin\tfrac{\pi-\theta}{2} |1\rangle \\
    &= \sin\tfrac{\theta}{2} |0\rangle - e^{\textbf{i}\phi}\cos\tfrac{\theta}{2} |1\rangle
\end{align*}}

です。 よって  { |\theta,\,\phi\rangle,\,|\pi-\theta,\,\phi+\pi\rangle }内積を計算すると

  { \displaystyle\begin{align*}
  \langle\theta,\,\phi|\pi-\theta,\,\phi+\pi\rangle
    &= \cos\tfrac{\theta}{2}\sin\tfrac{\theta}{2} - \sin\tfrac{\theta}{2}\cos\tfrac{\theta}{2} \\
    &= 0
\end{align*}}

となり、ブロッホ球面で対極にある状態は直交していることが分かります。

b.
 { |0\rangle,\,|1\rangle } については明らかなので、これらの状態は以降では除外します。 2つの状態  { |\theta,\,\phi\rangle,\,|\theta',\,\phi'\rangle\quad(\theta'\ne\theta,\,\phi'\ne\phi) } について、これらが直交するように  { \theta',\,\phi' } を定めましょう。 2つの内積を計算すると

  { \displaystyle\begin{align*}
  \langle\theta,\,\phi|\theta',\,\phi'\rangle
    &= \cos\tfrac{\theta}{2}\cos\tfrac{\theta'}{2}
     + e^{\textbf{i}(\phi'-\phi)}\sin\tfrac{\theta}{2}\sin\tfrac{\theta'}{2} \\
    &= \cos\tfrac{\theta}{2}\cos\tfrac{\theta'}{2}
     + \cos(\phi'-\phi)\sin\tfrac{\theta}{2}\sin\tfrac{\theta'}{2}
     + \textbf{i}\sin(\phi'-\phi)\sin\tfrac{\theta}{2}\sin\tfrac{\theta'}{2}
\end{align*}}

虚部が0となるためには(状態  { |0\rangle,\,|1\rangle } を除外しているので  { \theta,\,\theta' \ne 0,\,\pi } に注意して)

  { \displaystyle\begin{align*}
  \phi' - \phi &= \pi \qquad(\because \phi' \ne \phi) \\
  \therefore\, \phi' &= \phi + \pi
\end{align*}}

よって、上記の内積は以下のようになります:

  { \displaystyle\begin{align*}
  \langle\theta,\,\phi|\theta',\,\phi'\rangle
    &= \cos\tfrac{\theta}{2}\cos\tfrac{\theta'}{2} - \sin\tfrac{\theta}{2}\sin\tfrac{\theta'}{2} \\
    &= \cos\left(\frac{\theta+\theta'}{2}\right)
\end{align*}}

これも0となるには

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{\theta + \theta'}{2} &= \frac{\pi}{2} \\
  \therefore \, \theta' &= \pi - \theta
\end{align*}}

以上をまとめると、 { |\theta,\,\phi\rangle } に直交する状態は  { |\pi-\theta,\,\phi + \pi\rangle } となり、これはブロッホ球面で対極にある点に対応します。