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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く A.4

量子コンピュータ

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

目次はこちら

Exercise A.4. Show that the probability distributions  { \mu } whose corresponding operators  { M_\mu } are projectors are exactly the pure distributions.

有限集合  { A } 上の確率分布  { \mu } に対して、それに対応する演算子 { M_\mu } とします。

 { M_\mu } が射影子 ⇒  { \mu } が純粋な分布 定義より任意の関数  { g } に対して  { M_\mu: g \mapsto \mu g } なので

  { \displaystyle\begin{align*}
  \left(M_\mu g\right)(a)
    &= \mu(a)g(a)
\end{align*}}

また

  { \displaystyle\begin{align*}
  \left(M_\mu^2 g\right)(a)
    &= \left(M_\mu\left(M_\mu g\right)\right)(a) \\
    &= \left\{\mu(a)\right\}^2 g(a)
\end{align*}}

 { M_\mu } が射影子のとき  { M_\mu^2 = M_\mu } なので

  { \displaystyle\begin{align*}
  \left\{\mu(a)\right\}^2 &= \mu(a) \\
  \mu(a)\left\{\mu(a) - 1\right\} &= 0 \\
  \therefore \, \mu(a) &= 0,\,1
\end{align*}}

ここで、 { \mu } は確率分布なので  { \sum_{a \in A} \mu(a) = 1 } が成り立ちます。 よって、 { \mu(a) } はある1つの  { a } の値についてのみ1で、他の  { a } の値については0となります。 つまり  { \mu } は純粋な分布となります。

 { \mu } が純粋な分布 ⇒  { M_\mu } が射影子  { \mu } { a = a' } のときのみ1で、他の  { a } の値のときに0である純粋な関数であるとします。 このとき、 { g } を任意の関数として

  { \displaystyle\begin{align*}
  \left(M_\mu g\right)(a)
    &= \mu(a)g(a) \\
    &= \delta_{aa'}g(a) \\[2mm]
  \left(M_\mu^2 g\right)(a)
    &= \left(M_\mu\left(M_\mu g\right)\right)(a) \\
    &= \mu(a)\delta_{aa'}g(a) \\
    &= \delta_{aa'}^2g(a) \\
    &= \delta_{aa'}g(a)
\end{align*}}

よって  { M_\mu^2 = M_\mu } となって、 { M_\mu } が射影子であることが示せました。