読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 3.1

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

目次はこちら

Exercise 3.1. Let  { V } be a vector space with basis  { \{ (1,\,0,\,0),\,(0,\,1,\,0),\,(0,\,0,\,1)\} }. Give two different bases for  { V \otimes V }.

3つのベクトル

  { \displaystyle\begin{align*}
  \left\{ (\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,0),\,
    (\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,0),\,
    (0,\,0,\,1) \right\}
\end{align*}}

を基底とするベクトル空間を  { V' } とします。 これは本質的には  { V } と同じベクトル空間です。

1つ目
まずは2つのベクトル空間として、問題で与えられた基底を使った場合の  { V \otimes V }

  { \displaystyle\begin{align*}
  \{
  & (1,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0), \\
  & (0,\,1,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0), \\
  & (0,\,0,\,1,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0), \\
  & (0,\,0,\,0,\,1,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0), \\
  & (0,\,0,\,0,\,0,\,1,\,0,\,0,\,0,\,0), \\
  & (0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,1,\,0,\,0,\,0), \\
  & (0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,1,\,0,\,0), \\
  & (0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,1,\,0), \\
  & (0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,1) \}
\end{align*}}

2つ目
次は、2つのベクトル空間のうち、一方に  { V' } を使った場合の  { V \otimes V' }

  { \displaystyle\begin{align*}
  \{
  & (\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0), \\
  & (\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0), \\
  & (0,\,0,\,1,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0), \\
  & (0,\,0,\,0,\,\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,0,\,0,\,0,\,0), \\
  & (0,\,0,\,0,\,\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,0,\,0,\,0,\,0), \\
  & (0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,1,\,0,\,0,\,0), \\
  & (0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,0), \\
  & (0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,0), \\
  & (0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,1) \}
\end{align*}}

3つ目
ちなみに、2つ目のもので掛ける順序を変えると、異なる基底が得られます( { V' \otimes V }):

  { \displaystyle\begin{align*}
  \{
  & (\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,0,\,0,\,\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,0,\,0,\,0,\,0,\,0), \\
  & (0,\,\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,0,\,0,\,\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,0,\,0,\,0,\,0), \\
  & (0,\,0,\,\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,0,\,0,\,\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,0,\,0,\,0), \\
  & (\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,0,\,0,\,-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,0,\,0,\,0,\,0,\,0), \\
  & (0,\,\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,0,\,0,\,-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,0,\,0,\,0,\,0), \\
  & (0,\,0,\,\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,0,\,0,\,-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,0,\,0,\,0), \\
  & (0,\,0,\,1,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0), \\
  & (0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,1,\,0,\,0,\,0), \\
  & (0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,1) \}
\end{align*}}

4つ目
ついでに、 { V' \otimes V' } もやっておきましょう:

  { \displaystyle\begin{align*}
  \{
  & (\tfrac{1}{2},\,\tfrac{1}{2},\,0,\,\tfrac{1}{2},\,\tfrac{1}{2},\,0,\,0,\,0,\,0), \\
  & (\tfrac{1}{2},\,-\tfrac{1}{2},\,0,\,\tfrac{1}{2},\,-\tfrac{1}{2},\,0,\,0,\,0,\,0), \\
  & (0,\,0,\,\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,0,\,0,\,\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,0,\,0,\,0), \\
  & (\tfrac{1}{2},\,\tfrac{1}{2},\,0,\,-\tfrac{1}{2},\,-\tfrac{1}{2},\,0,\,0,\,0,\,0), \\
  & (\tfrac{1}{2},\,-\tfrac{1}{2},\,0,\,-\tfrac{1}{2},\,\tfrac{1}{2},\,0,\,0,\,0,\,0), \\
  & (0,\,0,\,\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,0,\,0,\,-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,0,\,0,\,0), \\
  & (0,\,0,\,1,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0), \\
  & (0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,1,\,0,\,0,\,0), \\
  & (0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,1) \}
\end{align*}}