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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 3.3

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

目次はこちら

Exercise 3.3. Show that the state

  { \displaystyle\begin{align*}
  |W_n\rangle
     = \frac{1}{\sqrt{n}}\left(|0...001\rangle + |0...010\rangle
       + |0...100\rangle + \cdots + |1...000\rangle\right)
\end{align*}}

is entangled, with respect to the decomposition into the  { n } qubits, for every  { n > 1 }.

まず0番目と1番目の Qubit だけを抜き出して考えます。 それぞれの状態が

  { \displaystyle\begin{align*}
  |\psi\rangle_0 &= a_0|0\rangle_0 + b_0|1\rangle_0 \\
  |\psi\rangle_1 &= a_1|0\rangle_1 + b_1|1\rangle_1
\end{align*}}

(ただし、 { a_0,\,b_0,\,a_1,\,b_1 \in \textbf{C} })で与えられているとき、これらのテンソル積は

  { \displaystyle\begin{align*}
  |\psi\rangle_0 \otimes |\psi\rangle_1
    &= (a_0|0\rangle_0 + b_0|1\rangle_0) \otimes (a_1|0\rangle_1 + b_1|1\rangle_1) \\[2mm]
    &= a_0a_1|00\rangle + a_0b_1|01\rangle + b_0a_1|10\rangle + b_0b_1|11\rangle
\end{align*}}

となります。

さて、この状態  { |\psi\rangle_0 \otimes |\psi\rangle_1 } が状態  { |W_n\rangle } の( { n } 個の Qubit への)分解に含まれる条件を考えましょう。  { |\psi\rangle_0 \otimes |\psi\rangle_1 } の最初の項の状態  { |00\rangle } { |W_n\rangle } のどの項の状態にもなり得ないので、この項は消えなければいけません:

  { \displaystyle\begin{align*}
  & a_0a_1 = 0 \\
  \therefore \, & a_0 = 0 \quad \textrm{or} \quad a_1 = 0
\end{align*}}

 { a_0 = 0 } のとき、 { |\psi\rangle_0 \otimes |\psi\rangle_1 } の第2項  { a_0b_1|01\rangle } が消えるので、 { |W_n\rangle } の中の  { |0...001\rangle } の項もなくなってしまいます。 同様にして  { a_1 = 0 } のときは  { |W_n\rangle } の中の  { |0...010\rangle } の項がなくなります。 よって  { |W_n\rangle } { n } 個の Qubit のテンソル積に分解することはできません。 つまり、この分解に関して量子もつれ状態です。

別解
 { n }-Qubit 系の状態を  { n } 個の Qubit のテンソル積に分解するのは、基本的には単なる因数分解なので、分解したい状態に以下のような変換を施せば、 { n } 元( { n } 変数)1次式の因数分解の問題になります:

  { \displaystyle\begin{align*}
  \begin{cases}
    |0\rangle_i \mapsto 1 \\
    |1\rangle_i \mapsto x_i
  \end{cases}
\end{align*}}

ここで  { x_i \,(i = 0,\,1,\,2,\,\cdots,\,n-1) } は適当な変数です。 状態  { W_n } にこの変換を施すと

  { \displaystyle\begin{align*}
  |W_n\rangle \mapsto \frac{1}{\sqrt{n}}\left(x_0 + x_1 + x_2 + \cdots + x_{n-1}\right)
\end{align*}}

となります。 この1次式はこれ以上因数分解できないので、 { |W_n\rangle } { n } 個の Qubit に分解することはできません。

c.f. 上記の方法で分解できる例をやっておきましょう。 p.40 で例示されている状態

  { \displaystyle\begin{align*}
  |\psi\rangle = \frac{1}{2}\left(|0000\rangle + |0101\rangle + |1010\rangle + |1111\rangle\right)
\end{align*}}

に対して上記の変換を適用すると

  { \displaystyle\begin{align*}
  |\psi\rangle
    &\mapsto \frac{1}{2}\left(1 + x_0x_2 + x_1x_3 + x_0x_1x_2x_3\right) \\
    &= \frac{1}{2}(1+x_0x_2)(1+x_1x_3)
\end{align*}}

のように因数分解できるので、結局  { |\psi\rangle }

  { \displaystyle\begin{align*}
  |\psi\rangle
    = \frac{1}{2}(|0\rangle_0|0\rangle_2 + |1\rangle_0|1\rangle_2)
        (|0\rangle_1|0\rangle_3 + |1\rangle_1|1\rangle_3)
\end{align*}}

のようにテンソル積で表せることが分かります。

【修正】

  •  { |\psi\rangle_0 \otimes |\psi\rangle_1 } を展開した式で、状態の番号の付け方が間違っていたので修正しました。