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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 3.4

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

目次はこちら

Exercise 3.4. Show that the state

  { \displaystyle\begin{align*}
  |GHZ_n\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|00...0\rangle + |11...1\rangle\right)
\end{align*}}

is entangled, with respect to the decomposition into the  { n } qubits, for every  { n > 1 }.

前回と同様の手順で導きます。 1つ目と2つ目の Qubit のテンソル

  { \displaystyle\begin{align*}
  |\psi\rangle_0\otimes|\psi\rangle_1
    &= \left(a_0|0\rangle + b_0|1\rangle\right)\otimes\left(a_1|0\rangle + b_1|1\rangle\right) \\
    &= a_0a_1|00\rangle + a_0b_1|01\rangle + b_0a_1|10\rangle + b_0b_1|11\rangle
\end{align*}}

に関して、これが状態  { |GHZ_n\rangle } に含まれる条件を考えると、 { |\psi\rangle_1\otimes|\psi\rangle_0 } の第2項、第3項の状態  { |01\rangle,\,|10\rangle } { |GHZ_n\rangle } に含まれないことから

  { \displaystyle\begin{align*}
  & a_0 b_ 1 = 0 \quad \textrm{かつ} \quad b_0a_1 = 0 \\
  \therefore \, & a_0a_1b_0b_1 = 0
\end{align*}}

を得ます。 これより  { a_0a_1 } もしくは  { b_0b_1 } のどちらかが0でなければならないので、結局  { |\psi\rangle_0\otimes|\psi\rangle_1 } の第1項もしくは第4項の少なくともどちらかは消えなくてはならず、この両方を含まなければならない  { |GHZ_n\rangle } の分解要素として現れることができません。 よって、 { |GHZ_n\rangle } { n } 個の Qubit への分解に関して量子もつれ状態です。

別解
前回の後半で見た変換を  { |GHZ_n\rangle } に施すと

  { \displaystyle\begin{align*}
  |GHW_n\rangle \mapsto \frac{1}{\sqrt{2}}\left(1 + x_0x_1x_2\cdots x_{n-1}\right)
\end{align*}}

となり、この式はこれ以上因数分解できないので、 { |GHZ_n\rangle } { n } 個の Qubit への分解に関して量子もつれ状態。

【修正】

  •  { |\psi\rangle_0 \otimes |\psi\rangle_1 } を展開したとき式で、状態の番号の付け方が間違っていたので修正しました。