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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 3.5

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

目次はこちら

Exercise 3.5. Is the state  { \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle|+\rangle + |1\rangle|-\rangle\right) } entangled?

準備
2つの Qubit に関して、任意の状態のテンソル積は

  { \displaystyle\begin{align*}
  \left(a_0|0\rangle + b_0|1\rangle\right) \otimes \left(a_1|0\rangle + b_1|1\rangle\right)
    &= a_0a_1|00\rangle + a_0b_1|01\rangle + a_1b_0|10\rangle + b_0b_1|11\rangle
\end{align*}}

となりますが、第1項と第4項の係数の積、第2項と第3項の係数の積はどちらも  { a_0a_1b_0b_1 } となるので、これらは等しくなければなりません。 

与えられた状態について
与えられた状態を標準基底  { \{|0\rangle,\,|1\rangle\} } のみで書き表すと

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle|+\rangle + |1\rangle|-\rangle\right)
    &= \frac{1}{2}\left\{|0\rangle\left(|0\rangle + |1\rangle\right) + |1\rangle\left(|0\rangle - |1\rangle\right)\right\} \\
    &= \frac{1}{2}\left(|00\rangle + |01\rangle + |10\rangle - |11\rangle\right)
\end{align*}}

ここで第1項と第4項の係数の積は-1、第2項と第3項の係数の積は1となるので、「準備」で示したことから、与えられた状態は2つの Qubit の状態のテンソル積で書けません。 つまりこの状態は量子もつれ状態です*1

【修正】

  • 準備の箇所で状態の番号の付け方が間違っていたので修正しました。

*1:2-Qubit 系に関しては2つの 1-Qubit 系への分解以外に分解の方法がないので、「~という分解に関して」量子もつれ状態、という言い方は不要でしょう。