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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 3.13

量子コンピュータ

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

目次はこちら

Exercise 3.14.

  • a. Show that the four-qubit state  { |\psi\rangle = \frac{1}{2}\left(|00\rangle + |11\rangle + |22\rangle + |33\rangle\right) } of example 3.2.3 is entangled with respect to the decomposition into two two-qubit subsystems consisting of the first and second qubits and the third and fourth qubits.
  • b. For the four decompositions into two subsystems consisting of one and three qubits, say whether  { |\psi\rangle } is entangled or unentangled with respect to each of these decompositions.

a.
1, 2 番目の2つの Qubit からなる系を  { I }、3, 4 番目の2つの Qubit からなる系を  { I\!I } とします。 それぞれの系の一般的な状態  { |\psi\rangle_I,\,|\psi\rangle_{I\!I} }

  { \displaystyle\begin{align*}
  |\psi\rangle_I &= a_0|0\rangle_I + a_1|1\rangle_I + a_2|2\rangle_I + a_3|3\rangle_I
    \qquad \left(a_i \in \textbf{C}\right) \\
    &= \sum_{i = 0}^3 a_i |i\rangle_I \\[2mm]
  |\psi\rangle_{I\!I}
    &= \sum_{i = 0}^3 b_i |i\rangle_{I\!I}
    \qquad \left(b_i \in \textbf{C}\right)
\end{align*}}

と書けます。 これらの状態のテンソル積は

  { \displaystyle\begin{align*}
  |\psi\rangle_I\otimes|\psi\rangle_{I\!I}
    &= a_0b_0|0\rangle_I|0\rangle_{I\!I} + a_0b_1|0\rangle_I|1\rangle_{I\!I}
      + a_1b_0|1\rangle_I|0\rangle_{I\!I} + a_1b_1|1\rangle_I|1\rangle_{I\!I} +  \cdots \\[2mm]
    &= a_0b_0|00\rangle + a_0b_1|01\rangle + a_1b_0|10\rangle + a_1b_1|11\rangle +  \cdots \\
\end{align*}}

となります。 これが問題で与えられた状態  { |\psi\rangle } と等しくなる条件を考えましょう。

 { |\psi\rangle_I\otimes|\psi\rangle_{I\!I} } の第2項の状態  { |01\rangle } { |\psi\rangle } に存在しないので

  { \displaystyle\begin{align*}
  a_0b_1 = 0
\end{align*}}

でなければなりませんが、 { a_0 = 0 } のときは  { |\psi\rangle_I\otimes|\psi\rangle_{I\!I} } の第1項が消え、 { b_1 = 0 } のときは  { |\psi\rangle_I\otimes|\psi\rangle_{I\!I} } の第4項が消えます。 しかし、 { |\psi\rangle } にはこのどちらの状態も存在するため、結局  { |\psi\rangle } は系  { I,\,I\!I }テンソル積としては書けません。

b.
1 番目 Qubit からなる系を  { I }、2, 3, 4 番目の3つの Qubit からなる系を  { I\!I } とします。 それぞれの系の一般的な状態  { |\psi\rangle_I,\,|\psi\rangle_{I\!I} }

  { \displaystyle\begin{align*}
  |\psi\rangle_I &= a_0|0\rangle_I + a_1|1\rangle_I &
    & \left(i = 0,\,1,\,\quad a_i \in \textbf{C}\right) \\
    &= \sum_{i = 0}^1 a_i |i\rangle_I \\[2mm]
  |\psi\rangle_{I\!I}
    &= \sum_{j = 0}^7 b_j |j\rangle_{I\!I} &
    & \left(j = 0,\,1,\,\cdots 7,\quad b_j\in \textbf{C}\right)
\end{align*}}

と書けます。 これらの状態のテンソル積は

  { \displaystyle\begin{align*}
  |\psi\rangle_I\otimes|\psi\rangle_{I\!I}
    &= a_0b_0|0\rangle_I|0\rangle_{I\!I} + a_0b_1|0\rangle_I|1\rangle_{I\!I}
      + a_0b_2|0\rangle_I|2\rangle_{I\!I} + a_0b_3|0\rangle_I|3\rangle_{I\!I} \\
    &\quad + a_0b_4|0\rangle_I|4\rangle_{I\!I} + a_0b_5|0\rangle_I|5\rangle_{I\!I}
                 + a_1b_6|0\rangle_I|6\rangle_{I\!I} + a_0b_7|0\rangle_I|7\rangle_{I\!I} \\
    &\quad + a_1b_0|1\rangle_I|0\rangle_{I\!I} + a_1b_1|1\rangle_I|1\rangle_{I\!I}
                 + a_1b_2|1\rangle_I|2\rangle_{I\!I} + a_1b_3|1\rangle_I|3\rangle_{I\!I} \\
    &\quad + a_1b_4|1\rangle_I|4\rangle_{I\!I} + a_1b_5|1\rangle_I|5\rangle_{I\!I}
                 + a_1b_6|6\rangle_I|4\rangle_{I\!I} + a_1b_7|1\rangle_I|7\rangle_{I\!I} \\[2mm]
    &= \underline{a_0b_0|00\rangle} + a_0b_1|01\rangle + \underline{a_0b_2|02\rangle} + a_0b_3|03\rangle \\
    &\quad + a_0b_4|10\rangle + a_0b_5|11\rangle + a_1b_6|12\rangle + a_0b_7|13\rangle \\
    &\quad + a_1b_0|20\rangle + a_1b_1|21\rangle + \underline{a_1b_2|22\rangle} + a_1b_3|23\rangle \\
    &\quad + a_1b_4|30\rangle + a_1b_5|31\rangle + a_1b_6|32\rangle + a_1b_7|33\rangle \\[2mm]
    &= a_0b_0|00\rangle + a_0b_2|02\rangle + a_1b_2|22\rangle + \cdots
\end{align*}}

3行目では2行目の下線部のみを取り出しています。 第2項の状態  { |02\rangle } { |\psi\rangle } に含まれないので

  { \displaystyle\begin{align*}
  a_0b_2 = 0
\end{align*}}

となりますが、 { a_0 = 0 } のときは第1項が、 { b_2= 0 } のときは第3項が消えて、どちらの場合も  { |\psi\rangle } に含まれている状態が消えてしまうので、結局  { |\psi\rangle_1 \otimes |\psi\rangle_{I\!I} } { |\psi\rangle } に等しくなりません。

2番目の Qubit を系  { I }、残りの3つの Qubit を系  { I\!I } として上記と同様の計算をすると

  { \displaystyle\begin{align*}
  |\psi\rangle_I\otimes|\psi\rangle_{I\!I}
    &= \underline{a_0b_0|00\rangle} + \underline{a_0b_1|01\rangle} + a_0b_2|02\rangle + a_0b_3|03\rangle \\
    &\quad + a_0b_4|20\rangle + a_0b_5|21\rangle + a_1b_6|22\rangle + a_0b_7|23\rangle \\
    &\quad + a_1b_0|10\rangle + \underline{a_1b_1|11\rangle} + a_1b_2|12\rangle + a_1b_3|13\rangle \\
    &\quad + a_1b_4|30\rangle + a_1b_5|31\rangle + a_1b_6|32\rangle + a_1b_7|33\rangle \\[2mm]
    &= a_0b_0|00\rangle + a_0b_1|01\rangle + a_1b_1|11\rangle + \cdots
\end{align*}}

となって、上記と同様のロジックによって、これは  { |\psi\rangle } と等しくなりません。

3, 4 番目の Qubit をそれぞれ1つの系とする分解では、1番目と3番目の Qubit、2番目と4 番目の Qubit を同時に入れ替えれば上記の2つの場合と同じになるので、これらも  { |\psi\rangle } と等しくなり得ません。

【修正】

  • 小問 b で 3-Qubit 系での番号の付け方が間違っていたので修正しました。