読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

懸垂曲線の方程式を導く

ひもの両端を持って垂らしたときにできる曲線を懸垂曲線(wikipedia:カテナリー曲線 catenary)といいますが、この曲線の方程式を導いてみます。 結果は双曲線関数の1つ  { \cosh x } を使って表されます。

高校時代にどこかで導出を読んだ覚えがあるんですが、その過程で積分方程式が出てきた気がしないので、別の導出方法(ここのものよりも簡単?)もあるかと思います。

準備

ひもの底を原点  { O } とし、水平方向に  { x } 軸、鉛直方向に  { y } 軸(上方向を正)にとります。 ひもの曲線を  { y = f(x) } とおいて関数  { f(x) } を求めます。

ひもの  { x > 0 } の部分に点  { (x,\,f(x)) } をとり、これを  { P } とします。 また、ひもの  { O } から  { P } の部分(両端を含む)を  { C } とします。

f:id:waman:20170302114623p:plain

 { f(x) } に対する微分方程式を立てる

ひもの一部  { C } に加わる力の釣り合いの式から  { f(x) } についての微分方程式を立てます。  { C } には次の3つの力が加わっています:

  •  { O } に水平方向のひもの張力  { T_0 }
  •  { P } に接線方向上向きにひもの張力  { T }
  •  { C } の重心に鉛直下向きに重力  { G }

 { T_0 } { x } に無関係な定数です。

 { T } について、 { P } における  { f(x) } の接線と  { x } 軸の正の部分とのなす角を  { \theta } とすると、 { T } { x } 成分、 { y } 成分はそれぞれ  { T\cos\theta,\,T\sin\theta } となります。 また、この角度  { \theta } { f(x) }

  { \displaystyle\begin{align*}
  f'(x) = \tan\theta
\end{align*}}

で関係しています。 ただし、 { ' } { x } 微分を表します。

 { G } { C } の長さを  { \ell }, 線密度を  { \rho }、重力加速度を  { g } として

  { \displaystyle\begin{align*}
  G = \rho \ell g
\end{align*}}

で与えられます。 ただし、 { C } の長さ  { \ell } { f(x) }

  { \displaystyle\begin{align*}
  \ell = \int_0^x \sqrt{1+\left\{f'(x)\right\}^2} \,dx
\end{align*}}

で関係しています。

以上の結果を踏まえて、鉛直・水平方向の力の釣り合いの式より

  { \displaystyle\begin{align*}
  \begin{cases}
    \textrm{鉛直方向}: & T \sin\theta = \rho \ell g \\[2mm]
    \textrm{水平方向}: & T \cos\theta = T_0
  \end{cases}
\end{align*}}

となります。  { T } を消去して  { f'(x) = \tan\theta } { \ell } の式を使うと

  { \displaystyle\begin{align*}
  f'(x) &= \frac{\rho g}{T_0} \int_0^x \sqrt{1+\{f'(x)\}^2}\,dx
\end{align*}}

定数をひとまとめにして  { k = \frac{\rho g}{T_0} } とおくと、結局以下の積分方程式が得られます:

  { \displaystyle\begin{align*}
  f'(x) &= k \int_0^x \sqrt{1+\{f'(x)\}^2}\,dx
\end{align*}}

これを解くために、微分方程式に書き換えておきましょう。 両辺を  { x }微分すると

  { \displaystyle\begin{align*}
  f''(x) &= k \sqrt{1+\{f'(x)\}^2}
\end{align*}}

概ね「積分方程式 = 微分方程式 + 境界条件」なので境界条件も出しておきましょう。 積分方程式 { x = 0 } とおいて  { f'(0) = 0 } を得ます。 また、積分方程式からは出てきませんが( { f'(x) } しか含んでいないので)、座標系の取り方から  { f(0) = 0 }境界条件として課されます。 以上をまとめると

  { \displaystyle\begin{align*}
  \begin{cases}
    {\displaystyle f''(x) = k \sqrt{1+\{f'(x)\}^2} } \\[2mm]
    f(0) = 0, \quad f'(0) = 0
  \end{cases}
\end{align*}}

微分方程式を解く

では上記の微分方程式を解いていきましょう。  { z = f'(x) } とおくと微分方程式より

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{dz}{dx} &= k\sqrt{1+z^2} \\[2mm]
  \frac{dz}{\sqrt{1+z^2}} &= k dx
\end{align*}}

となります。 両辺を積分すると、左辺は(以下の  { \theta } は上記で定義した接線に関連する角度と同じですが、単なる置換積分の変数と思って問題ありません)

  { \displaystyle\begin{align*}
  \int \frac{dz}{\sqrt{1+z^2}}
    &= \int \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\theta}}\frac{d\theta}{\cos^2\theta} \qquad \left(z = \tan\theta\right) \\
    &= \int \frac{d\theta}{\cos\theta} \\
    &= \int \frac{d(\sin\theta)}{\cos^2\theta} \\
    &= \frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{1-\sin\theta}+\frac{1}{1+\sin\theta}\right)d(\sin\theta) \\
    &= \frac{1}{2} \Big\{-\log(1-\sin\theta) + \log(1+\sin\theta)\Big\} \\
    &= \frac{1}{2} \log\left(\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}\right)
\end{align*}}

また、右辺は簡単に積分できて  { kx } となるので

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{1}{2} \log\left(\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}\right) &= kx \\
  \frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta} &= e^{2kx} \\
\end{align*}}

ただし、 { f'(x) = z = \tan\theta }境界条件  { f'(x) = 0 } より、 { x = 0 } { \theta = 0 } なので、積分定数は0になります。

さて、この関係式から  { \tan\theta \,(= f'(x)) } { x } で表しましょう。 まずは  { \sin\theta } について解くと

  { \displaystyle\begin{align*}
  1 + \sin\theta &= e^{2kx} (1 - \sin\theta) \\
  (e^{2kx} + 1) \sin\theta &= e^{2kx} - 1 \\
  \sin\theta &= \frac{e^{2kx} - 1}{e^{2kx} + 1} \quad \left( = \tanh kx\right)
\end{align*}}

次に  { \tan\theta } について解くために公式  { 1+\frac{1}{\tan^2\theta} = \frac{1}{\sin^2\theta} } (この公式についてはこちらなどを参照)を使うと

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{1}{\tan^2\theta}
    &= \left(\frac{e^{2kx} + 1}{e^{2kx} - 1}\right)^2 - 1 \\
    &= \frac{\left(e^{2kx}+1\right)^2 - \left(e^{2kx}-1\right)^2}
      {\left(e^{2kx}-1\right)^2} \\
    &= \frac{4e^{2kx}}{\left(e^{2kx}-1\right)^2} \\[2mm]
  \tan\theta &= \frac{e^{2kx}-1}{2\,e^{kx}} \\
    &= \frac{e^{kx} - e^{-kx}}{2} \\
    &= \sinh kx
\end{align*}}

 { f'(x) = z = \tan\theta } だったので、結局  { f'(x) = \sinh kx }。  { f(x) } を求めるためにさらに積分すると、境界条件  { f(0) = 0 } も課して

  { \displaystyle\begin{align*}
  f(x) &= \frac{\cosh kx-1}{k}
\end{align*}}

を得ます。