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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

ベッセルの微分方程式の解としてのノイマン関数

前回ベッセルの微分方程式級数解としてベッセル関数を導きましたが、パラメータ  { \nu } が整数の場合はベッセル関数以外の解が存在します。 通常用いられるのはノイマン関数という関数で、前回は定義だけを見ましたが少々天下り的な話でした。 今回はベッセルの微分方程式に関してフックスの定理からくる解(以下、フックス解)を導き、その解と前回定義したノイマン関数との関係を見ていきます。 フックス解関連の話は個人的興味でやっただけなので、前回定義したノイマン関数でパラメータ  { \nu } を整数にする極限にだけ興味ある方は、後半だけ読めば充分だと思います。

数式が未だかつてないくらいゴチャゴチャしてますが、全てノイマン関数のせいです。

【この記事の内容】

ベッセルの微分方程式とベッセル関数

ベッセルの微分方程式は以下で与えられます:

  { \displaystyle\begin{align*}
  \left[\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{d}{dr}\right) + \left(1-\frac{n^2}{r^2}\right)\right]Z_n(r) = 0
\end{align*}}

もしくは  { r } 微分を ' で表して

  { \displaystyle\begin{align*}
  Z_n''(r) + \frac{Z_n'(r)}{r} + \left(1-\frac{n^2}{r^2}\right)Z_n(r) = 0
\end{align*}}

基本解の1つは以下のベッセル関数で表されるのでした:

  { \displaystyle\begin{align*}
  J_\nu(r) = \left(\frac{r}{2}\right)^\nu\sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^p}{p!\Gamma(p+\nu+1)} \left(\frac{r}{2}\right)^{2p}
\end{align*}}

フックスの定理による他の基本解

フックスの定理 (Fuchs' theorem) より、他の基本解は以下の形をしていることが知られています:

  { \displaystyle\begin{align*}
  Z_n(r) = J_n(r)\ln r + \sum_{m=0}^\infty \xi_m^{(n)} r^{s+m}
\end{align*}}

ここで  { J_n(r) } は上記で定義されたベッセル関数、 { s } はある実数、 { \ln r } は自然対数関数です。  { s } は冪級数部分の最低次数を与えるので  { \xi_0^{(n)} \ne 0 } です。

 { \xi_n(r) } が満たす微分方程式 ここではまず

  { \displaystyle\begin{align*}
  Z_n(r) = J_n(r)\ln r + \xi_n(r)
\end{align*}}

の形の解を仮定して  { \xi_n(r) } が満たす微分方程式を求めてみましょう。

  { \displaystyle\begin{align*}
  Z_n'(r)
    &= J_n'(r)\ln r + \frac{J_n(r)}{r} + \xi_n'(r) \\[2mm]
  Z_n''(r)
    &= J_n''(r)\ln r + \frac{2J_n'(r)}{r} - \frac{J_n(r)}{r^2} + \xi_n''(r)
\end{align*}}

より

  { \displaystyle\begin{align*}
  &Z_n''(r) + \frac{Z_n'(r)}{r} + \left(1-\frac{n^2}{r^2}\right)Z_n(r) \\
    &\qquad= \left\{J_n''(r) + \frac{J_n'(r)}{r} + \left(1-\frac{n^2}{r^2}\right)J_n(r)\right\}\ln r
      + \frac{2J_n'(r)}{r} \\
    &\qquad\qquad+ \xi_n''(r) + \frac{\xi_n'(r)}{r} + \left(1-\frac{n^2}{r^2}\right)\xi_n(r)
\end{align*}}

右辺第1項の  { \ln r } を含む項は  { J_n(r) } がベッセルの微分方程式を満たすことから消える(!)ので、 { Z_n(r) } に対するベッセルの微分方程式は結局  { \xi_n(r) } についての微分方程式

  { \displaystyle\begin{align*}
  \xi_n''(r) + \frac{\xi_n'(r)}{r} + \left(1-\frac{n^2}{r^2}\right)\xi_n(r) = -\frac{2J_n'(r)}{r}
\end{align*}}

となります。 左辺の  { \xi_n(r) } にかかっている演算はベッセルの微分方程式のものと同じで( { \xi_n(r) } の置き方から当然ですが)、右辺が0でなくなった形になっています。 対数を含む項がなくなっているのもミソですね。

 { \xi_n(r) }級数 上記の  { \xi_n(r) } についての微分方程式に対して級数解を求めていきましょう。 まぁ、前回ベッセル関数を導いたときとやることは変わりませんが。  { \xi_n(r) } の展開係数  { \xi_m^{(n)} }

  { \displaystyle\begin{align*}
  \xi_n(r) = \sum_{m=0}^\infty \xi_m^{(n)} r^{s+m} \qquad \left(\xi_0^{(n)} \ne 0\right)
\end{align*}}

で定義すると

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{\xi_n'(r)}{r}
    &= \sum_{m=0}^\infty (s+m)\xi_m^{(n)}r^{s+m-2} \\
  \xi_n''(r)
    &= \sum_{m=0}^\infty (s+m)(s+m-1)\xi_m^{(n)}r^{s+m-2} \\
  \xi_n(r)
    &= \sum_{m=0}^\infty \xi_{m-2}^{(n)}r^{s+m-2} \qquad
      (\textrm{ただし}\,\xi_{-2}^{(n)} = \xi_{-1}^{(n)} = 0 \,\textrm{とする})\\
\end{align*}}

より

  { \displaystyle\begin{align*}
  &\xi_n''(r) + \frac{\xi_n'(r)}{r} + \left(1-\frac{n^2}{r^2}\right)\xi_n(r) \\
    &\qquad= \sum_{m=0}^\infty \Big\{(s+m-n)(s+m+n)\xi_m^{(n)} + \xi_{m-2}^{(n)}\Big\}r^{s+m-2}
\end{align*}}

また、ベッセル関数の定義の級数より

  { \displaystyle\begin{align*}
  -\frac{2J_n'(r)}{r}
    &= \sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^{p+1}(n+2p)}{2^{n+2p-1}p!(p+n)!} r^{n+2p-2}
\end{align*}}

よってこれらが等しくなるとして(両辺に  { r^2 } をかけて)

  { \displaystyle\begin{align*}
  \sum_{m=0}^\infty \Big\{(s+m-n)(s+m+n)\xi_m^{(n)} + \xi_{m-2}^{(n)}\Big\}r^{s+m}
    &= \sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^{p+1}(n+2p)}{2^{n+2p-1}p!(p+n)!} r^{n+2p}
\end{align*}}

を得ます。 これが満たされるためには、 { s } は整数でないといけないので、以降  { s } は整数とします。 また、右辺は  { r } の次数に関して  { n } と同じ偶奇のものしかないので、左辺の和で  { m = 2\ell } の項だけを残して

  { \displaystyle\begin{align*}
  \sum_{\ell=0}^\infty \Big\{(s+2\ell-n)(s+2\ell+n)\xi_{2\ell}^{(n)} + \xi_{2\ell-2}^{(n)}\Big\}r^{s+2\ell}
    &= \sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^{p+1}(n+2p)}{2^{n+2p-1}p!(p+n)!} r^{n+2p} \\
    &\qquad\cdots(*) \qquad \left(\xi_{-2}^{(n)} = 0\right)
\end{align*}}

とできます。

  { n = 0 } の場合は  { n \geqq 1 } の場合と少し異なる(簡単になる)ので、まずは  { n=0 } の場合を別にやりましょう。

n = 0 の場合
(*) 式で  { n = 0 } として

  { \displaystyle\begin{align*}
  \sum_{\ell=0}^\infty \Big\{(s+2\ell)^2\xi_{2\ell}^{(0)} + \xi_{2\ell-2}^{(0)}\Big\}r^{s+2\ell}
    &= \sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^{p+1}p}{2^{2p-2}(p!)^2} r^{2p}
\end{align*}}

左辺で  { r } の最低次の項は  { s^2\xi_0^{(0)}r^s }。 また右辺で  { r } の最低次の項は( { p = 0 } の項は消えるので)  { r^2 }。 よって、 { s \leqq 1 } なら  { s = 0 } となり  { s \geqq 3 } だと不適なので、  { s = 0,\,2 } となりますが、これらは同じ結果を与えるようなので(あまりきちんと確かめてない ^^;))、以下では  { s = 0 } として  { \xi_{2p}^{(0)} } を求めていきましょう。  { s = 0 } のとき、上記の等式は

  { \displaystyle\begin{align*}
  \sum_{\ell=0}^\infty \Big\{4\ell^2\xi_{2\ell}^{(0)} + \xi_{2\ell-2}^{(0)}\Big\}r^{2\ell}
    &= \sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^{p+1}p}{2^{2p-2}(p!)^2} r^{2p}
\end{align*}}

となるので、 { r } の各次数で係数が等しくなるためには

  { \displaystyle\begin{align*}
  4p^2\xi_{2p}^{(0)} + \xi_{2p-2}^{(0)}
    = \dfrac{(-1)^{p+1}p}{2^{2p-2}(p!)^2} \qquad (p \geqq 1)
\end{align*}}

両辺に  { (-1)^{p+1}2^{2p-2}\{(p-1)!\}^2 } をかけて  { a_p = (-1)^{p+1}2^{2p}(p!)^2\xi_{2p}^{(0)} } とおくと、 { a_p } の漸化式は簡単になって

  { \displaystyle\begin{align*}
  a_p - a_{p-1} = \frac{1}{p}
\end{align*}}

を得ます。  { p \geqq 1 } のとき  { a_p } の一般項は和の形で求まって

  { \displaystyle\begin{align*}
  a_p
    &= a_0 + \sum_{\ell= 1}^p \left(a_\ell - a_{\ell-1}\right) \\
    &= a_0 + \sum_{\ell=1}^p\frac{1}{\ell}
\end{align*}}

となるので、 { \xi_{2p}^{(0)} }

  { \displaystyle\begin{align*}
  \xi_{2p}^{(0)}
    &= -\frac{(-1)^p}{2^{2p}(p!)^2}
      \left(a_0 + \Big[\sum_{\ell=1}^p\frac{1}{\ell}\Big]_{p\ne 0}\right)
\end{align*}}

と求まります。 ただし、 { [x]_{p\ne0} } { p \ne 0 } のとき  { x } で、 { p = 0 } のとき0とします。 これを元の級数に代入すると

  { \displaystyle\begin{align*}
  Z_0(r)
    &= J_0(r) \ln r - \sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^p}{2^{2p}(p!)^2}
      \left(a_0 + \Big[\sum_{\ell=1}^p\frac{1}{\ell}\Big]_{p\ne 0}\right) r^{2p} \\
    &= J_0(r) \ln r - a_0J_0(r) 
      - \sum_{p=1}^\infty \frac{(-1)^p}{(p!)^2}\left(\frac{r}{2}\right)^{2p}\sum_{\ell=1}^p\frac{1}{\ell}
\end{align*}}

となりますが、第2項のベッセル関数に比例する項は単独でベッセルの微分方程式の解なので、上式で  { a_0 = 0 } としたものを  { \mathcal{N}_0(r) } とおいて(これはノイマン関数ではありません)

  { \displaystyle\begin{align*}
  \mathcal{N}_0(r)
     = J_0(r) \ln r - \sum_{p=1}^\infty \frac{(-1)^p}{(p!)^2}\left(\frac{r}{2}\right)^{2p}\sum_{\ell=1}^p\frac{1}{\ell}
\end{align*}}

がベッセルの微分方程式の解となります。

n ≧ 1 の場合
 { n \ne 0 } のとき、ベッセルの微分方程式 { r = 0 }特異点となるので、ベッセル関数以外の解は  { r = 0 } で発散するんじゃないかなぁということで(適当w)  { s } が負であるとすると、(*) 式で左辺の最低次の項  { (s^2 - n^2) \xi_0^{(n)} r^{s-2} } と同次の項が右辺にないのと、 { \xi_0^{(n)} \ne 0 } から  { s = -n } となります。 これを (*) 式に代入して

  { \displaystyle\begin{align*}
  \sum_{\ell=0}^\infty \Big\{-2^2\ell(n - \ell)\xi_{2\ell}^{(n)} + \xi_{2\ell-2}^{(n)}\Big\}r^{-n+2\ell} 
    &= \sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^{p+1}(n+2p)}{2^{n+2p-1}p!(p+n)!} r^{n+2p}
\end{align*}}

両辺の  { r } について同次の項を比べやすくするために、右辺の和の変数を  { p } から  { \ell = n+p \quad (p = \ell - n) } に変換すると

  { \displaystyle\begin{align*}
  \sum_{\ell=0}^\infty \Big\{-2^2\ell(n - \ell)\xi_{2\ell}^{(n)} + \xi_{2\ell-2}^{(n)}\Big\}r^{-n+2\ell} 
    &= \sum_{\ell=n}^\infty \frac{(-1)^{\ell-n+1}(2\ell-n)}{2^{2\ell-n-1}(\ell-n)!\ell!} r^{-n+2\ell}
\end{align*}}

両辺の  { r } の各次数の係数が等しくなることから

  { \displaystyle\begin{align*}
  \begin{cases}
    -2^2\ell(n - \ell)\xi_{2\ell}^{(n)} + \xi_{2\ell-2}^{(n)} = 0 \qquad (0 \leqq \ell \leqq n-1) & \cdots(1) \\[2mm]
    \xi_{2n-2}^{(n)} = -\dfrac{1}{2^{n-1}(n-1)!} & \cdots(2) \\[2mm]
    2^2\ell(\ell - n)\xi_{2\ell}^{(n)} + \xi_{2\ell-2}^{(n)}
      = \dfrac{(-1)^{\ell-n+1}(2\ell-n)}{2^{2\ell-n-1}(\ell-n)!\ell!} \qquad (\ell \geqq n+1) & \cdots (3)
  \end{cases}
\end{align*}}

を得ます。

まず  { 0 \leqq \ell \leqq n-1 } の範囲 では、(1) 式を繰り返し使って  { \xi_{2\ell}^{(n)} } { \xi_{2n-2}^{(n)} } で表し、結果に (2) 式を使うと  { \xi_{2\ell}^{(n)} } が求まります:

  { \displaystyle\begin{align*}
  \xi_{2\ell}^{(n)}
    &= 2^2 \cdot (\ell+1) \cdot (n-\ell-1)\xi_{2\ell+2}^{(n)} \\
    &= 2^4 \cdot (\ell+1)(\ell+2) \cdot (n-\ell-1)(n-\ell-2)\xi_{2\ell+4}^{(n)} \\
    &\qquad \vdots \\
    &= 2^{2n-2\ell} \cdot \frac{(n-1)!}{\ell!} \cdot (n-\ell-1)!\xi_{2n-2}^{(n)} \\
    &= -\frac{(n-\ell-1)!}{2^{-n+2\ell-1}\ell!} \qquad\cdots(4)
\end{align*}}

また  { \ell \geqq n+1 } の範囲では、 { n=0 } の場合と同様にして  { \xi_{2\ell}^{(n)} } が求められます。

  { \displaystyle\begin{align*}
  a_\ell = (-1)^{\ell-n+1}2^{2\ell-n+1}(\ell-n)!\ell!\xi_{2\ell}^{(n)}
\end{align*}}

とおけば、(3) 式より

  { \displaystyle\begin{align*}
   a_\ell - a_{\ell-1}
    &= \frac{(2\ell-n)}{(\ell-n)\ell} \\
    &= \frac{1}{\ell-n} + \frac{1}{\ell}
\end{align*}}

となるので、 { a = a_n } として

  { \displaystyle\begin{align*}
  a_\ell
    &= a + \sum_{k=n+1}^\ell(a_k - a_{k-1}) \\
    &= a + \sum_{k=n+1}^\ell\left(\frac{1}{k-n} + \frac{1}{k}\right) \\
    &= a + \sum_{k=1}^{\ell-n}\frac{1}{k} + \sum_{k=n+1}^\ell\frac{1}{k} \\[2mm]
  \therefore\,\xi_{2\ell}^{(n)}
    &= -\frac{(-1)^{\ell-n}}{2^{2\ell-n+1}\ell!(n - \ell)!}
      \left\{a + \left[\sum_{k=1}^{\ell-n}\frac{1}{k} + \sum_{k=n+1}^\ell\frac{1}{k}\right]_{\ell\ne n}\right\}
\end{align*}}

後のために添字の変数を  { \ell } から  { p = \ell - n \quad(\ell = n+p) } に変換すると

  { \displaystyle\begin{align*}
  \xi_{2n+2p}^{(n)}
    &= -\frac{(-1)^p}{2^{n+2p+1}p!(n + p)!}
      \left\{a + \left[\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{k} + \sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{1}{k}\right]_{p\ne 0}\right\} \qquad\cdots(5)
\end{align*}}

となります。

以上で展開係数  { \xi_{2p}^{(0)} } が求まったので、(4), (5) 式を元の級数に代入すると

  { \displaystyle\begin{align*}
  Z_n(r)
    &= J_n(r) \ln r + \sum_{p=0}^{n-1} \xi_{2p}^{(n)} r^{-n+2p}
      + \sum_{p=0}^\infty \xi_{2n+2p}^{(n)} r^{n+2p} \\
    &= J_n(r) \ln r
      - \frac{1}{2}\left(\frac{r}{2}\right)^{-n}\sum_{p=0}^{n-1} \frac{(n-p-1)!}{p!} \left(\frac{r}{2}\right)^{2p} \\
      &\qquad- a J_n(r) - \frac{1}{2}\left(\frac{r}{2}\right)^n\sum_{p=1}^\infty \left\{\frac{(-1)^p}{p!(n + p)!}
      \left(\frac{r}{2}\right)^{2p}\left(\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{k} + \sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{1}{k}\right)\right\} \\
\end{align*}}

となります。 第3項はやはり必要ないので  { a = 0 } としたものを  { \mathcal{N}_n(r) } とおいて(ノイマン関数ではありません)

  { \displaystyle\begin{align*}
  \mathcal{N}_n(r)
    &= J_n(r) \ln r
      - \frac{1}{2}\left(\frac{r}{2}\right)^{-n}\sum_{p=0}^{n-1} \frac{(n-p-1)!}{p!} \left(\frac{r}{2}\right)^{2p} \\
      &\qquad - \frac{1}{2}\left(\frac{r}{2}\right)^n\sum_{p=1}^\infty \left\{\frac{(-1)^p}{p!(n + p)!}
      \left(\frac{r}{2}\right)^{2p}\left(\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{k} + \sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{1}{k}\right)\right\} 
\end{align*}}

がベッセルの微分方程式の解となります。  { n=0 } の場合も合わせて書くと

  { \displaystyle\begin{align*}
  \mathcal{N}_n(r)
    &= J_n(r) \ln r - \frac{1}{2}\left(\frac{r}{2}\right)^n\sum_{p=1}^\infty \left\{\frac{(-1)^p}{p!(n + p)!}
        \left(\frac{r}{2}\right)^{2p}\left(\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{k}
        + \sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{1}{k}\right)\right\} \\
      &\qquad - \left[\frac{1}{2}\left(\frac{r}{2}\right)^{-n}
        \sum_{p=0}^{n-1} \frac{(n-p-1)!}{p!} \left(\frac{r}{2}\right)^{2p}\right]_{n\ne 0}
\end{align*}}

となります。 ただし

  { \displaystyle\begin{align*}
  [x]_{n\ne 0} = \begin{cases}
    x & (n\ne 0) \\
    0 & (n=0)
  \end{cases}
\end{align*}}

です。

ノイマン関数

前回少し触れたように、パラメータ  { \nu } が整数でない場合、ノイマン関数 (Neumann function)  { N_\nu(r) }

  { \displaystyle\begin{align*}
  N_\nu(r) &= \frac{J_\nu(r) \cos\nu\pi - J_{-\nu}(r)}{\sin \nu\pi}
\end{align*}}

で定義されます。 パラメータ  { \nu } が整数  { n } の場合、分母・分子が0となるので、極限として定義されます:

  { \displaystyle\begin{align*}
  N_n(r) = \lim_{\nu \rightarrow n}N_\nu(r)
\end{align*}}

この極限をロピタルの定理を使って評価すると

  { \displaystyle\begin{align*}
  \lim_{\nu \rightarrow n} N_\nu(r)
    &= \left[\frac{\frac{\partial}{\partial \nu}\left(J_\nu(r) \cos\nu\pi - J_{-\nu}(r)\right)}
      {\frac{\partial}{\partial \nu}\left(\sin\nu\pi\right)}\right]_{\nu = n} \\[2mm]
    &= \left[\frac{\frac{\partial J_\nu(r)}{\partial \nu} \cos\nu\pi - \pi J_\nu(r) \sin\nu\pi
      - \frac{\partial J_{-\nu}(r)}{\partial \nu}}{\pi \cos\nu\pi}\right]_{\nu = n} \\[2mm]
    &= \frac{1}{\pi}\left[\frac{\partial J_\nu(r)}{\partial \nu} - (-1)^n\frac{\partial J_{-\nu}(r)}{\partial \nu}
      \right]_{\nu = n} \qquad\cdots (6)
\end{align*}}

ここで

  { \displaystyle\begin{align*}
  \left[\frac{\partial J_{-\nu}(r)}{\partial \nu}\right]_{\nu=n}
    = -\left[\frac{\partial J_\nu(r)}{\partial \nu}\right]_{\nu=-n}
\end{align*}}

なので、ガンマ関数の逆数の(整数値における)微分係数  { \left[\frac{\partial J_\nu(r)}{\partial \nu}\right]_{\nu=n} } (ただし  { n } が負になる場合も含む)を計算しましょう。 ベッセル関数の定義の級数より

  { \displaystyle\begin{align*}
  \left[\frac{\partial J_\nu(r)}{\partial \nu}\right]_{\nu=n}
    &= \left[\frac{\partial}{\partial \nu}\left\{
      \left(\frac{r}{2}\right)^\nu\sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^p}{p!\Gamma(p+\nu+1)}
      \left(\frac{r}{2}\right)^{2p}\right\}\right]_{\nu=n} \\
    &= J_n(r) \ln \frac{r}{2} + \left(\frac{r}{2}\right)^n \sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^p}{p!}
     \left(\frac{r}{2}\right)^{2p}\left[\frac{\partial}{\partial \nu}\frac{1}{\Gamma(p+\nu+1)}\right]_{\nu=n} \\
    &= J_n(r) \ln \frac{r}{2} + \left(\frac{r}{2}\right)^n \sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^p}{p!}
     \left(\frac{r}{2}\right)^{2p}\left[\frac{\partial}{\partial \nu}\frac{1}{\Gamma(\nu)}\right]_{\nu=p+n+1}
\end{align*}}

となります。 第2項を計算するために(ポリガンマ関数を使うと簡単に出るようです)、ガンマ関数の公式(というか定義?)の1つ、ワイエルシュトラスの乗積表示(標準積表示)

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{1}{\Gamma(z)}
    &= \lim_{n\rightarrow \infty} z n^{-z} \prod_{k=1}^n\left(1+\frac{z}{k}\right) \\
    &= z e^{\gamma z}\prod_{k=1}^\infty\left(1+\frac{z}{k}\right)e^{-\frac{z}{k}} \qquad
      \left(\gamma\,:\textrm{オイラーの定数}\right)
\end{align*}}

を使いましょう(オイラーの定数の定義は「まとめ」に載せてます)。 まずは微分後に  { \nu } に正の整数を代入する場合。 無限積の各因子をそれぞれ微分したものを足し合わせればいいだけですね。  { m } を正の整数として

  { \displaystyle\begin{align*}
  \left[\frac{\partial}{\partial \nu}\frac{1}{\Gamma(\nu)}\right]_{\nu=m}
    &= \frac{1}{\Gamma(m)}\left\{\frac{1}{m} + \gamma
      + \sum_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{k}\cdot\frac{1}{1+\frac{m}{k}} - \frac{1}{k}\right)\right\} \\
    &= \frac{1}{\Gamma(m)}\left\{\frac{1}{m} + \gamma
      + \sum_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{k+m} - \frac{1}{k}\right)\right\} \\
    &= \frac{1}{\Gamma(m)}\left(\frac{1}{m} + \gamma - \sum_{k=1}^m\frac{1}{k}\right) \\
    &= \frac{1}{\Gamma(m)}\left(\gamma - \sum_{k=1}^{m-1}\frac{1}{k}\right)
\end{align*}}

次に  { \nu=0 } を代入する場合。 乗積表示の最初の  { z }微分がかかった項以外は消えるので、結果は簡単。

  { \displaystyle\begin{align*}
  \left[\frac{\partial}{\partial \nu}\frac{1}{\Gamma(\nu)}\right]_{\nu=0} = 1
\end{align*}}

最後に  { \nu } に負の整数を代入する場合。 この場合も  { \frac{1}{\Gamma(z)} } の因子の中で、この代入で消える因子に微分がかかった項だけが残るという計算をするのですが、無限積の因子をちょっとイジるので、積表示のうち極限で表された方の式を使います。 ここでも  { m } を正の整数として

  { \displaystyle\begin{align*}
  \left[\frac{\partial}{\partial \nu}\frac{1}{\Gamma(\nu)}\right]_{\nu=-m}
    &= \lim_{n\rightarrow \infty} (-m) n^m \left\{\prod_{k=1}^{m-1}\left(1-\frac{m}{k}\right)\right\}
      \left(-\frac{1}{m}\right)\left\{\prod_{k=m+1}^n\left(1-\frac{m}{k}\right)\right\} \\
    &= \lim_{n\rightarrow \infty} \left(\prod_{k=1}^{m-1}\frac{k-m}{k}\right)
      \left(n^m \prod_{k=m+1}^n\frac{k-m}{k}\right) \\
\end{align*}}

ここで各因子について

  { \displaystyle\begin{align*}
  \prod_{k=1}^{m-1} \frac{k-m}{k}
    &= \frac{1-m}{1}\cdot\frac{2-m}{2}\cdot\frac{3-m}{3}\cdots \frac{-2}{m-2}\cdot\frac{-1}{m-1} \\
    &= (-1)^{m-1} \\[2mm]
  n^m \prod_{k=m+1}^n \frac{k-m}{k}
    &= n^m \cdot \frac{1}{m+1}\cdot\frac{2}{m+2}\cdots \frac{n-m}{n} \\
    &= m! \cdot \frac{n}{n-m+1}\cdot\frac{n}{n-m+2}\cdots \frac{n}{n} \\
    &\rightarrow m! \qquad (n \rightarrow \infty)
\end{align*}}

なので、結局

  { \displaystyle\begin{align*}
  \left[\frac{\partial}{\partial \nu}\frac{1}{\Gamma(\nu)}\right]_{\nu=-m}
    &= (-1)^m m!
\end{align*}}

を得ます。 これは  { m = 0 } の場合も成り立ちます。

ガンマ関数の逆数の微分係数が計算できたので、この結果を使って  { \left[\frac{\partial J_{\pm \nu}}{\partial \nu}\right]_{\nu=n} } を計算しましょう。 複号が + の方は簡単に計算できて

  { \displaystyle\begin{align*}
  \left[\frac{\partial J_\nu(r)}{\partial \nu}\right]_{\nu=n}
    &= J_n(r) \ln \frac{r}{2} + \left(\frac{r}{2}\right)^n \sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^p}{p!\Gamma(p+n+1)}
      \left(\frac{r}{2}\right)^{2p}\left(\gamma - \sum_{k=1}^{p+n}\frac{1}{k}\right) \\
    &= J_n(r) \left(\gamma + \ln \frac{r}{2}\right) - \left(\frac{r}{2}\right)^n \sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^p}{p!(p+n)!}
      \left(\frac{r}{2}\right)^{2p}\sum_{k=1}^{p+n}\frac{1}{k} \qquad\cdots(7)
\end{align*}}

複号が - の方は

  { \displaystyle\begin{align*}
  \left[\frac{\partial J_{-\nu}(r)}{\partial \nu}\right]_{\nu=n}
    &= -\left[\frac{\partial J_\nu(r)}{\partial \nu}\right]_{\nu=-n} \\
    &= -J_{-n}(r) \ln \frac{r}{2}
      - \left(\frac{r}{2}\right)^{-n} \sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^p}{p!} \left(\frac{r}{2}\right)^{2p}
      \left[\frac{\partial}{\partial \nu}\frac{1}{\Gamma(\nu)}\right]_{\nu=p-n+1}
\end{align*}}

となりますが、第1項は前回導いた関係式  { J_{-n}(r) = (-1)^nJ_n(r) } を使って

  { \displaystyle\begin{align*}
  -J_{-n}(r) \ln \frac{r}{2}
    &= -(-1)^nJ_n(r) \ln \frac{r}{2}
\end{align*}}

また、第2項では  { \nu } に代入する  { p-n+1 } が0以下になる場合と正になる場合に分けて計算する必要があるので、  { p } についての和を  { 0 \leqq p \leqq n-1 } { p \geqq n } に分けて( { n = 0 } の場合は1つ目はない)、和の部分だけを変形していくと

  { \displaystyle\begin{align*}
  &\sum_{p=0}^{n-1} \frac{(-1)^p}{p!}\left(\frac{r}{2}\right)^{2p}
      \left[\frac{\partial}{\partial \nu}\frac{1}{\Gamma(\nu)}\right]_{\nu=p-n+1} \\
    &\qquad=\sum_{p=0}^{n-1} \frac{(-1)^p}{p!}
      \left(\frac{r}{2}\right)^{2p}\cdot(-1)^{n-p-1}(n-p-1)! \\
    &\qquad= -(-1)^n \sum_{p=0}^{n-1} \frac{(n-p-1)!}{p!}
      \left(\frac{r}{2}\right)^{2p} \\[4mm]
  &\sum_{p=n}^\infty \frac{(-1)^p}{p!} \left(\frac{r}{2}\right)^{2p}
      \left[\frac{\partial}{\partial \nu}\frac{1}{\Gamma(\nu)}\right]_{\nu=p-n+1} \\
    &\qquad= \sum_{p'=0}^\infty \frac{(-1)^{n+p'}}{(n+p')!}
      \left(\frac{r}{2}\right)^{2n+2p'}\left[\frac{\partial}{\partial \nu}\frac{1}{\Gamma(\nu)}\right]_{\nu=p'+1}
        \quad (p' = p - n) \\
    &\qquad= \left(\frac{r}{2}\right)^{2n} \sum_{p'=0}^\infty \frac{(-1)^{n+p'}}{(n+p')!\Gamma(p'+1)}
      \left(\frac{r}{2}\right)^{2p'}\left(\gamma - \sum_{k=1}^{p'}\frac{1}{k}\right) \\
    &\qquad= (-1)^n \left(\frac{r}{2}\right)^n \left\{J_n(r)\gamma
      - \left(\frac{r}{2}\right)^n\sum_{p'=0}^\infty \frac{(-1)^{p'}}{p'!(n+p')!}
      \left(\frac{r}{2}\right)^{2p'}\sum_{k=1}^{p'}\frac{1}{k}\right\}
\end{align*}}

よって

  { \displaystyle\begin{align*}
  \left[\frac{\partial J_{-\nu}(r)}{\partial \nu}\right]_{\nu=n}
    &= -(-1)^n\Big\{J_n(r) \left(\gamma + \ln \frac{r}{2}\right) \\
      &\qquad- \left[\left(\frac{r}{2}\right)^{-n}
        \sum_{p=0}^{n-1} \frac{(n-p-1)!}{p!}\left(\frac{r}{2}\right)^{2p}\right]_{n\ne0} \\
      &\qquad- \left(\frac{r}{2}\right)^n \sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^{p}}{p!(n+p)!}
        \left(\frac{r}{2}\right)^{2p}\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{k} \qquad\cdots(8)
\end{align*}}

(6) 式に (7), (8) 式を代入すると、ノイマン関数の最終的な表式が得られて

  { \displaystyle\begin{align*}
  N_n(r)
    &= \frac{1}{\pi}\left[\frac{\partial J_\nu(r)}{\partial \nu}
      - (-1)^n\frac{\partial J_{-\nu}(r)}{\partial \nu}\right]_{\nu = n} \\
    &= \frac{2}{\pi}J_n(r) \left(\gamma + \ln \frac{r}{2}\right)
        - \frac{1}{\pi} \left(\frac{r}{2}\right)^n \sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^{p}}{p!(n+p)!}
        \left(\frac{r}{2}\right)^{2p}\left(\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{k} + \sum_{k=1}^{p+n}\frac{1}{k}\right)\\
      &\qquad- \left[\frac{1}{\pi}\left(\frac{r}{2}\right)^{-n}
        \sum_{p=0}^{n-1} \frac{(n-p-1)!}{p!}\left(\frac{r}{2}\right)^{2p}\right]_{n\ne 0}
\end{align*}}

となります。

フックス解との関係
上記で得られたノイマン関数  { N_n(r) } は、前節で得られたフックス解  { \mathcal{N} } とベッセル関数との線形結合で表すことができ、以下のようになります:

  { \displaystyle\begin{align*}
  N_n(r)
    &= \frac{2}{\pi}\left\{J_n(r)\left(\gamma - \ln 2 - \frac{1}{2}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\right) + \mathcal{N}_n(r)\right\}
\end{align*}}

ベッセル関数  { J_n(r) } にかかっている因子の中の和は、フックス解  { \mathcal{N}_n(r) } の第2項の和の中の2つ目の和の下限を合わせるために入れてあります。

まとめ

ベッセルの微分方程式のフックス解(一般に用いられるわけではない)

  { \displaystyle\begin{align*}
  \mathcal{N}_n(r)
    &= J_n(r) \ln r - \frac{1}{2}\left(\frac{r}{2}\right)^n\sum_{p=1}^\infty \left\{\frac{(-1)^p}{p!(n + p)!}
        \left(\frac{r}{2}\right)^{2p}\left(\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{k}
        + \sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{1}{k}\right)\right\} \\
      &\qquad - \left[\frac{1}{2}\left(\frac{r}{2}\right)^{-n}
        \sum_{p=0}^{n-1} \frac{(n-p-1)!}{p!} \left(\frac{r}{2}\right)^{2p}\right]_{n\ne 0}
\end{align*}}

ただし

  { \displaystyle\begin{align*}
  [x]_{n\ne 0} = \begin{cases}
    x & (n\ne 0) \\
    0 & (n=0)
  \end{cases}
\end{align*}}


ノイマン関数

パラメータ  { \nu } が整数でない場合

  { \displaystyle\begin{align*}
  N_\nu(r) &= \frac{J_\nu(r) \cos\nu\pi - J_{-\nu}(r)}{\sin \nu\pi}
\end{align*}}

パラメータ  { n } が整数の場合

  { \displaystyle\begin{align*}
  N_n(r)
    &= \frac{1}{\pi}\left[\frac{\partial J_\nu(r)}{\partial \nu}
      - (-1)^n\frac{\partial J_{-\nu}(r)}{\partial \nu}\right]_{\nu = n} \\
    &= \frac{2}{\pi}J_n(r) \left(\gamma + \ln \frac{r}{2}\right)
        - \frac{1}{\pi} \left(\frac{r}{2}\right)^n \sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^{p}}{p!(n+p)!}
        \left(\frac{r}{2}\right)^{2p}\left(\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{k} + \sum_{k=1}^{p+n}\frac{1}{k}\right)\\
      &\qquad- \left[\frac{1}{\pi}\left(\frac{r}{2}\right)^{-n}
        \sum_{p=0}^{n-1} \frac{(n-p-1)!}{p!}\left(\frac{r}{2}\right)^{2p}\right]_{n\ne 0}
\end{align*}}

ただし、 { J_n(r) } はベッセル関数、 { \gamma }オイラーの定数です:

  { \displaystyle\begin{align*}
  \gamma = \lim_{n \rightarrow \infty}\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k} - \ln n\right) \fallingdotseq 0.57721
\end{align*}}

Quantum Mechanics (Dover Books on Physics)

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