ラプラシアンの極座標表示を求めるシリーズ(目次)。 今回は3次元のラプラシアンの極座標表示。 ラプラシアンは
ですね。 3次元の極座標は次のように定義されてました(こちらを参照):
また、極座標を直交座標を用いて表すと以下のようになります:
記事の流れは以下のようになります:
直交座標の微分を極座標とその微分で表す
第1段階として、直交座標
微分
が成り立ちます。 各項を地道に計算していきましょう。 まずは動径 を
で微分:
より
の
微分は
の場合と同様に計算できて
よって
微分
となるので
微分
より
を得ます。
まとめ
結果をまとめると
行列の形で書くとこうなります:
の2階微分の極座標表示
上記で得られた
微分の項
より
微分の項
より
微分の項
より
の2回微分
よって、
となります。 ホントに綺麗にまとまるのか不安・・・
の2階微分の極座標表示
微分の項
より
微分の項
より
微分の項
より
の2回微分
以上をまとめると、
の2階微分の極座標表示
最後は
を用いて、 の2階微分
の極座標表示を計算します。 やることは同じ。
微分の項
より
微分の項
より
微分の項
より
の2回微分
以上をまとめると
ふぅ、やっと準備完了。
3次元ラプラシアンの極座標表示
さて、以上の結果をまとめましょう。2階微分の項
2階微分の項は、同変数の2階微分以外の項は打ち消しあって
1階微分の項
1階微分の項は残る項や消える項がそれぞれあって
3次元のラプラシアンの極座標表示
以上をまとめると
・・・。 4次元以上のラプラシアンの計算するための手始めにするつもりだったけど、この方法で高次元にいくのは現実的ではないね・・・