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ラプラシアンの極座標表示 ： 3次元

数学 3次元 極座標

ラプラシアンの極座標表示を求めるシリーズ（目次）。　今回は3次元のラプラシアンの極座標表示。　ラプラシアンは

　　{ \displaystyle\begin{align*} \triangle = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \end{align*}}

ですね。　3次元の極座標は次のように定義されてました（こちらを参照）：

　　{ \displaystyle\begin{align*} \begin{cases} x = r\sin\theta\cos\varphi \\ y = r\sin\theta\sin\varphi \\ z = r\cos\theta \end{cases} \quad \begin{pmatrix} 0 \le r < \infty \\ 0 \le \theta \le \pi \\ 0 \le \varphi \le 2\pi \end{pmatrix} \end{align*}}

また、極座標を直交座標を用いて表すと以下のようになります：

　　{ \displaystyle\begin{align*} r &= \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, & \theta &= \tan^{-1}\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}, & \varphi &= \tan^{-1}\frac{y}{x} \end{align*}}

記事の流れは以下のようになります：

  1. { x, y, z } 微分の極座標表示
  2. { x } の2階微分の極座標表示
  3. { y } の2階微分の極座標表示
  4. { z } の2階微分の極座標表示
  5. ラプラシアンの極座標表示

直交座標の微分を極座標とその微分で表す

第1段階として、直交座標 { x,\,y,\,z } による微分を、極座標 { r,\,\theta,\,\varphi } とその微分で表しましょう。

{ x } 微分
{ x } 微分に関して、連鎖律 より

　　{ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\partial \varphi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \varphi} \end{align*}}

が成り立ちます。　各項を地道に計算していきましょう。　まずは動径 { r } を { x } で微分：

　　{ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial r}{\partial x} &= \frac{\partial}{\partial x}\sqrt{x^2 + y^2 +z^2} \\ & = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \\ &= \frac{x}{r} \\ &= \sin\theta\cos\varphi \end{align*}}

次は { \theta } の { x } 微分。　{ \tan^{-1} x } の微分公式

　　{ \displaystyle\begin{align*} \left(\tan^{-1}x\right)' = \frac{1}{1+x^2} \end{align*}}

より

　　{ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial \theta}{\partial x} &= \frac{1}{1+\frac{x^2+y^2}{z^2}} \cdot \frac{1}{z} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \\[2mm] &= \frac{z}{x^2+y^2+z^2}\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \\[2mm] &= \frac{r\cos\theta}{r^2}\cdot\frac{r\sin\theta\cos\varphi}{r\sin\theta} \\[2mm] &= \frac{\cos\theta \cos\varphi}{r} \end{align*}}

{ \varphi } の { x } 微分は { \theta } の場合と同様に計算できて

　　{ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial \varphi}{\partial x} &= \frac{1}{1+\frac{y^2}{x^2}} \cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right) \\[2mm] &= -\frac{y}{x^2+y^2} \\[2mm] &= -\frac{r\sin\theta\sin\varphi}{r^2\sin^2\theta} \\[2mm] &= -\frac{\sin\varphi}{r\sin\theta} \end{align*}}

よって

　　{ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial}{\partial x} = \sin\theta\cos\varphi \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos\theta \cos\varphi}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} -\frac{\sin\varphi}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \varphi} \end{align*}}

となり、{ x } 微分を極座標とその微分で表せました。

{ y } 微分
{ y } 座標に対しても、同様にして

　　{ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial r}{\partial y} &= \sin\theta\sin\varphi, & \frac{\partial \theta}{\partial y} &= \frac{\cos\theta\sin\varphi}{r}, & \frac{\partial \varphi}{\partial y} &= \frac{\cos\varphi}{r\sin\theta} \end{align*}}

となるので

　　{ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial}{\partial y} = \sin\theta\sin\varphi \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos\theta\sin\varphi}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\cos\varphi}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \varphi} \end{align*}}
　　

{ z } 微分

　　{ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial r}{\partial z} &= \cos\theta, & \frac{\partial \theta}{\partial z} &= -\frac{\sin\theta}{r}, & \frac{\partial \varphi}{\partial z} &= 0 \end{align*}}

より

　　{ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial}{\partial z} = \cos\theta \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} \end{align*}}

を得ます。

まとめ
結果をまとめると

　　{ \displaystyle\begin{align*} \nabla = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial}{\partial x} \\[4mm] \dfrac{\partial}{\partial y} \\[4mm] \dfrac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\varphi \dfrac{\partial}{\partial r} + \dfrac{\cos\theta \cos\varphi}{r}\dfrac{\partial}{\partial \theta} -\dfrac{\sin\varphi}{r\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial \varphi} \\[4mm] \sin\theta\sin\varphi \dfrac{\partial}{\partial r} + \dfrac{\cos\theta\sin\varphi}{r}\dfrac{\partial}{\partial \theta} + \dfrac{\cos\varphi}{r\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial \varphi} \\[4mm] \cos\theta \dfrac{\partial}{\partial r} - \dfrac{\sin\theta}{r}\dfrac{\partial}{\partial \theta} \end{pmatrix} \end{align*}}

行列の形で書くとこうなります：

　　{ \displaystyle\begin{align*} \begin{pmatrix} \dfrac{\partial}{\partial x} \\[4mm] \dfrac{\partial}{\partial y} \\[4mm] \dfrac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\varphi & \dfrac{\cos\theta \cos\varphi}{r} & -\dfrac{\sin\varphi}{r\sin\theta} \\[4mm] \sin\theta\sin\varphi & \dfrac{\cos\theta\sin\varphi}{r} & \dfrac{\cos\varphi}{r\sin\theta} \\[4mm] \cos\theta & - \dfrac{\sin\theta}{r} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dfrac{\partial}{\partial r} \\[4mm] \dfrac{\partial}{\partial \theta} \\[4mm] \dfrac{\partial}{\partial \varphi} \end{pmatrix} \end{align*}}

{ x } の2階微分の極座標表示

上記で得られた { x } 微分の極座標表示

　　{ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial}{\partial x} = \sin\theta\cos\varphi\frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos\theta\cos\varphi}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} - \frac{\sin\varphi}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \varphi} \end{align*}}

を用いて、{ x } の2階微分 { \frac{\partial^2}{\partial x^2} } の極座標表示を計算します。

{ r } 微分の項

　　{ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial}{\partial r} \frac{\partial}{\partial x} &= \sin\theta\cos\varphi\frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{\cos\theta\cos\varphi}{r}\frac{\partial^2}{\partial r \partial \theta} -\frac{\sin\varphi}{r\sin\theta}\frac{\partial^2}{\partial r \partial\varphi} \\[2mm] &\qquad\qquad -\frac{\cos\theta\cos\varphi}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\sin\varphi}{r^2 \sin\theta}\frac{\partial}{\partial \varphi} \end{align*}}

より

　　{ \displaystyle\begin{align*} &\sin\theta\cos\varphi\frac{\partial}{\partial r} \frac{\partial}{\partial x} \\[2mm] &= \sin^2\theta\cos^2\varphi\frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{\sin\theta\cos\theta\cos^2\varphi}{r}\frac{\partial^2}{\partial r \partial \theta} -\frac{\sin\varphi\cos\varphi}{r}\frac{\partial^2}{\partial r \partial\varphi} \\[2mm] &\qquad\qquad -\frac{\sin\theta\cos\theta\cos^2\varphi}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\sin\varphi\cos\varphi}{r^2}\frac{\partial}{\partial \varphi} \end{align*}}

{ \theta } 微分の項

　　{ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial}{\partial \theta} \frac{\partial}{\partial x} &= \sin\theta\cos\varphi\frac{\partial^2}{\partial r \partial\theta} + \frac{\cos\theta\cos\varphi}{r}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} - \frac{\sin\varphi}{r\sin\theta}\frac{\partial^2}{\partial \theta \partial\varphi} \\[2mm] &\qquad\qquad +\cos\theta\cos\varphi\frac{\partial}{\partial r} -\frac{\sin\theta\cos\varphi}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\cos\theta\sin\varphi}{r \sin^2\theta}\frac{\partial}{\partial \varphi} \end{align*}}

より

　　{ \displaystyle\begin{align*} & \frac{\cos\theta\cos\varphi}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} \frac{\partial}{\partial x} \\[2mm] &= \frac{\sin\theta\cos\theta\cos^2\varphi}{r}\frac{\partial^2}{\partial r \partial\theta} + \frac{\cos^2\theta\cos^2\varphi}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} -\frac{\cos\theta\sin\varphi\cos\varphi}{r^2\sin\theta}\frac{\partial^2}{\partial \theta \partial\varphi} \\[2mm] &\qquad\qquad +\frac{\cos^2\theta\cos^2\varphi}{r}\frac{\partial}{\partial r} -\frac{\sin\theta\cos\theta\cos^2\varphi}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\cos^2\theta\sin\varphi\cos\varphi}{r^2 \sin^2\theta}\frac{\partial}{\partial \varphi} \end{align*}}

{ \varphi } 微分の項

　　{ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial}{\partial \varphi} \frac{\partial}{\partial x} &= \sin\theta\cos\varphi\frac{\partial^2}{\partial r \partial \varphi} + \frac{\cos\theta\cos\varphi}{r}\frac{\partial^2}{\partial \theta \partial \varphi} -\frac{\sin\varphi}{r\sin\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} \\[2mm] &\qquad\qquad -\sin\theta\sin\varphi\frac{\partial}{\partial r} -\frac{\cos\theta\sin\varphi}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} - \frac{\cos\varphi}{r \sin\theta}\frac{\partial}{\partial \varphi} \end{align*}}

より

　　{ \displaystyle\begin{align*} & -\frac{\sin\varphi}{r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \varphi} \frac{\partial}{\partial x} \\[2mm] &= -\frac{\sin\varphi\cos\varphi}{r}\frac{\partial^2}{\partial r \partial \varphi} - \frac{\cos\theta\sin\varphi\cos\varphi}{r^2\sin\theta}\frac{\partial^2}{\partial \theta \partial \varphi} +\frac{\sin^2\varphi}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} \\[2mm] &\qquad\qquad + \frac{\sin^2\varphi}{r}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos\theta\sin^2\varphi}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\sin\varphi\cos\varphi}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial}{\partial \varphi} \end{align*}}


{ x } の2回微分
よって、{ x } の2階微分は以下のようになります：

　　{ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial^2}{\partial x^2} &= \sin^2\theta\cos^2\varphi\frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{\cos^2\theta\cos^2\varphi}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} +\frac{\sin^2\varphi}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} \\[2mm] &\qquad + \frac{2\sin\theta\cos\theta\cos^2\varphi}{r}\frac{\partial^2}{\partial r \partial\theta} \\ &\qquad - \frac{2\sin\varphi\cos\varphi}{r}\frac{\partial^2}{\partial r \partial \varphi} \\ & \qquad - \frac{2\cos\theta\sin\varphi\cos\varphi}{r^2\sin\theta} \frac{\partial^2}{\partial \theta \partial \varphi} \\[2mm] &\qquad\qquad +\frac{\cos^2\theta\cos^2\varphi+\sin^2\varphi}{r}\frac{\partial}{\partial r} \\ &\qquad\qquad - \left(\frac{2\sin\theta\cos\theta\cos^2\varphi}{r^2} +\frac{\cos\theta\sin^2\varphi}{r^2\sin\theta}\right)\frac{\partial}{\partial \theta} \\ &\qquad\qquad +\frac{2\sin\varphi\cos\varphi}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial}{\partial \varphi} \end{align*}}

となります。　ホントに綺麗にまとまるのか不安・・・

{ y } の2階微分の極座標表示

{ x } の場合と同様にして { y } 微分の極座標表示

　　{ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial}{\partial y} = \sin\theta\sin\varphi\frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos\theta\sin\varphi}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\cos\varphi}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \varphi} \end{align*}}

を用いて、{ y } の2階微分 { \frac{\partial^2}{\partial y^2} } の極座標表示を計算します。

{r } 微分の項
　　{ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial}{\partial r} \frac{\partial}{\partial y} &= \sin\theta\sin\varphi\frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{\cos\theta\sin\varphi}{r}\frac{\partial^2}{\partial r \partial \theta} + \frac{\cos\varphi}{r\sin\theta}\frac{\partial^2}{\partial r \partial\varphi} \\[2mm] &\qquad\qquad -\frac{\cos\theta\sin\varphi}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta} - \frac{\cos\varphi}{r^2 \sin\theta}\frac{\partial}{\partial \varphi} \end{align*}}

より

　　{ \displaystyle\begin{align*} & \sin\theta\sin\varphi\frac{\partial}{\partial r} \frac{\partial}{\partial y} \\[2mm] &= \sin^2\theta\sin^2\varphi\frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{\sin\theta\cos\theta\sin^2\varphi}{r}\frac{\partial^2}{\partial r \partial \theta} + \frac{\sin\varphi\cos\varphi}{r}\frac{\partial^2}{\partial r \partial\varphi} \\[2mm] &\qquad\qquad - \frac{\sin\theta\cos\theta\sin^2\varphi}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta} - \frac{\sin\varphi\cos\varphi}{r^2}\frac{\partial}{\partial \varphi} \end{align*}}

{ \theta } 微分の項
　　{ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial}{\partial \theta} \frac{\partial}{\partial y} &= \sin\theta\sin\varphi\frac{\partial^2}{\partial r \partial\theta} + \frac{\cos\theta\sin\varphi}{r}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} + \frac{\cos\varphi}{r\sin\theta}\frac{\partial^2}{\partial \theta \partial\varphi} \\[2mm] &\qquad\qquad +\cos\theta\sin\varphi\frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin\theta\sin\varphi}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} - \frac{\cos\theta\cos\varphi}{r \sin^2\theta}\frac{\partial}{\partial \varphi} \end{align*}}

より

　　{ \displaystyle\begin{align*} & \frac{\cos\theta\sin\varphi}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} \frac{\partial}{\partial y} \\[2mm] &= \frac{\sin\theta\cos\theta\sin^2\varphi}{r}\frac{\partial^2}{\partial r \partial\theta} + \frac{\cos^2\theta\sin^2\varphi}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} + \frac{\cos\theta\sin\varphi\cos\varphi}{r^2\sin\theta}\frac{\partial^2}{\partial \theta \partial\varphi} \\[2mm] &\qquad\qquad +\frac{\cos^2\theta\sin^2\varphi}{r}\frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin\theta\cos\theta\sin^2\varphi}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta} - \frac{\cos^2\theta\sin\varphi\cos\varphi}{r^2 \sin^2\theta}\frac{\partial}{\partial \varphi} \end{align*}}

{ \varphi } 微分の項

　　{ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial}{\partial \varphi} \frac{\partial}{\partial y} &= \sin\theta\sin\varphi\frac{\partial^2}{\partial r \partial \varphi} + \frac{\cos\theta\sin\varphi}{r}\frac{\partial^2}{\partial \theta \partial \varphi} + \frac{\cos\varphi}{r\sin\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} \\[2mm] &\qquad\qquad -\sin\theta\cos\varphi\frac{\partial}{\partial r} -\frac{\cos\theta\cos\varphi}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} - \frac{\sin\varphi}{r \sin\theta}\frac{\partial}{\partial \varphi} \end{align*}}

より

　　{ \displaystyle\begin{align*} & \frac{\cos\varphi}{r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \varphi} \frac{\partial}{\partial y} \\[2mm] &= \frac{\sin\varphi\cos\varphi}{r}\frac{\partial^2}{\partial r \partial \varphi} + \frac{\cos\theta\sin\varphi\cos\varphi}{r^2\sin\theta}\frac{\partial^2}{\partial \theta \partial \varphi} + \frac{\cos^2\varphi}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} \\[2mm] &\qquad\qquad + \frac{\cos^2\varphi}{r}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos\theta\cos^2\varphi}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta} - \frac{\sin\varphi\cos\varphi}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial}{\partial \varphi} \end{align*}}

{ y } の2回微分
以上をまとめると、{ y } の2階微分は以下のようになります：

　　{ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial^2}{\partial y^2} &= \sin^2\theta\sin^2\varphi\frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{\cos^2\theta\sin^2\varphi}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} +\frac{\cos^2\varphi}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} \\[2mm] &\qquad + \frac{2\sin\theta\cos\theta\sin^2\varphi}{r}\frac{\partial^2}{\partial r \partial\theta} \\ &\qquad + \frac{2\sin\varphi\cos\varphi}{r}\frac{\partial^2}{\partial r \partial \varphi} \\ & \qquad + \frac{2\cos\theta\sin\varphi\cos\varphi}{r^2\sin\theta} \frac{\partial^2}{\partial \theta \partial \varphi} \\[2mm] &\qquad\qquad +\frac{\cos^2\theta\sin^2\varphi+\cos^2\varphi}{r}\frac{\partial}{\partial r} \\ &\qquad\qquad + \left(-\frac{2\sin\theta\cos\theta\sin^2\varphi}{r^2} +\frac{\cos\theta\cos^2\varphi}{r^2\sin\theta}\right)\frac{\partial}{\partial \theta} \\ &\qquad\qquad - \frac{2\sin\varphi\cos\varphi}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial}{\partial \varphi} \end{align*}}

{ z } の2階微分の極座標表示

最後は { z } 微分の極座標表示

　　{ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial}{\partial z} = \cos\theta\frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} \end{align*}}

を用いて、{ z } の2階微分 { \frac{\partial^2}{\partial z^2} } の極座標表示を計算します。　やることは同じ。

{ r } 微分の項

　　{ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial}{\partial r} \frac{\partial}{\partial z} = \cos\theta\frac{\partial^2}{\partial r^2} - \frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial^2}{\partial r \partial \theta} + \frac{\sin\theta}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta} \end{align*}}

より

　　{ \displaystyle\begin{align*} \cos\theta\frac{\partial}{\partial r} \frac{\partial}{\partial z} = \cos^2\theta\frac{\partial^2}{\partial r^2} - \frac{\sin\theta\cos\theta}{r}\frac{\partial^2}{\partial r \partial \theta} + \frac{\sin\theta\cos\theta}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta} \end{align*}}


{ \theta } 微分の項

　　{ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial}{\partial \theta} \frac{\partial}{\partial z} = \cos\theta\frac{\partial^2}{\partial r \partial\theta} - \frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} - \sin\theta\frac{\partial}{\partial r} - \frac{\cos\theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} \end{align*}}

より

　　{ \displaystyle\begin{align*} -\frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} \frac{\partial}{\partial z} = - \frac{\sin\theta\cos\theta}{r}\frac{\partial^2}{\partial r \partial\theta} + \frac{\sin^2\theta}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} +\frac{\sin^2\theta}{r}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{\sin\theta\cos\theta}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta} \end{align*}}

{ \varphi } 微分の項

　　{ \displaystyle \frac{\partial}{\partial \varphi} \frac{\partial}{\partial z} = 0 }

より

　　{ \displaystyle \frac{\cos\varphi}{r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \varphi} \frac{\partial}{\partial z} = 0 }


{ z } の2回微分
以上をまとめると

　　{ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial^2}{\partial z^2} &= \cos^2\theta\frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{\sin^2\theta}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \\[2mm] &\qquad - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r}\frac{\partial^2}{\partial r \partial\theta} \\[2mm] &\qquad\qquad +\frac{\sin^2\theta}{r}\frac{\partial}{\partial r} \\ &\qquad\qquad + \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta} \end{align*} }

ふぅ、やっと準備完了。

3次元ラプラシアンの極座標表示

さて、以上の結果をまとめましょう。

2階微分の項
2階微分の項は、同変数の2階微分以外の項は打ち消しあって

　　{ \displaystyle \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} +\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} }

1階微分の項
1階微分の項は残る項や消える項がそれぞれあって

　　{ \displaystyle \frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos\theta}{r^2 \sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta} }


3次元のラプラシアンの極座標表示
以上をまとめると

　　{ \displaystyle\begin{align*} \triangle &= \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} + \frac{\cos\theta}{r^2 \sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta} +\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} \\[2mm] &= \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} \end{align*}}

・・・。　4次元以上のラプラシアンの計算するための手始めにするつもりだったけど、この方法で高次元にいくのは現実的ではないね・・・

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