ζ(2) の値 - 倭算数理研究所

この記事では次式が成り立つことを示します：

　　 $\zeta(2)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$

前提とする関係式

${ \arcsin x }$ の導関数

　　 $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

${ \arcsin x }$ の冪級数展開

${ -1 \leqq x \leqq 1 }$ の範囲において

　　 $\arcsin x = \sum_{n=0}^\infty\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$

${ I_n }$ の値

${ I_n }$ を

　　 $I_n = \int_0^1\frac{x^n}{\sqrt{1-x^2}}dx$

と定義するとき*1

　　 $I_{2n+1} = \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$

が成り立つ。

導出の流れ

${ s,\,t,\,I }$ を

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} s &= \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} \qquad & t &= \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)^2} \qquad & I &=\int_0^1\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}dx \end{align*} }$

と定義します。　で、 ${ \zeta(2) }$ の導出の流れは以下の通り：

[tex:{ I = t } となることを示す。
${ I }$ の積分を実行して、 ${ I }$ すなわち ${ t }$ の値を求める。
${ t }$ の値から ${ s }$ の値を求める。

導出

1. ${ I = t }$ を示す

${ \arcsin x }$ の展開式を用いると

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} I &=\int_0^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \left(\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right)dx\\[2mm] &=\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{1}{2n+1}\int_0^1\frac{x^{2n+1}}{\sqrt{1-x^2}}dx \end{align*} }$

ここで ${ I_n }$ の定義と ${ n }$ が奇数の場合の表式を用いると

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} I&=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{1}{2n+1} I_{2n+1}\\[2mm] &=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{1}{2n+1}\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\\[2mm] &=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)^2}\\[2mm] &=t \end{align*} }$

よって ${ I = t }$ が導けました。

2. ${ t }$ の値を求める

${ \arcsin x }$ の微分公式より

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} I &= \int_0^1\arcsin x\,(\arcsin x)'dx\\ &=\left[\frac{1}{2}(\arcsin x)^2\right]_0^1\\ &=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)^2\\ &=\frac{\pi^2}{8} \end{align*} }$

よって

　　 $t = \frac{\pi^2}{8}$

となります。

3. ${ t }$ の値から ${ s }$ の値を求める

まずは ${ s }$ の級数を分解して、 ${ s }$ と ${ t }$ の間の関係を導きましょう：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} s &= \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}\\ &= \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(2n)^2} + \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)^2}\\ &= \frac{1}{4}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} + \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)^2}\\ &= \tfrac{1}{4}s + t \end{align*} }$