ほむらに葬られなかった問題　その2

${ p }$ は素数、 ${ n }$ は任意の自然数とします。
　　 ${ (1+n)^p - n^p - 1 }$
が ${ p }$ で割り切れることを証明してください。

二項定理より

　　 $(1+n)^p = \sum_{r=0}^p{}_pC_r 1^{p-r}n^r = \sum_{r=0}^p{}_pC_r n^r$

なので

　　 $(1+n)^p -n^p -1 = \sum_{r=1}^{p-1}{}_pC_r n^r$

ここで ${ {}_pC_r }$ （ただし ${ 1 \leqq r \leqq p-1 }$ ）が ${ p }$ の倍数であることを示す。

　　 ${}_pC_r = \frac{p!}{(p-r)!r!} = p\cdot\frac{(p-1)!}{(p-r)!r!}$

${ p }$ は素数なので ${ (p-r)!r! }$ （ただし ${ 1 \leqq r \leqq p-1 }$ ）は素因数に ${ p }$ を含まない。　一方 ${ {}_pC_r }$ は自然数なので、結局

　　 $\frac{(p-1)!}{(p-r)!r!}$

が自然数であることが分かる。　つまり ${ {}_pC_r }$ （ただし ${ 1 \leqq r \leqq p-1 }$ ）は ${ p }$ の倍数。

${ {}_pC_r }$ ( ${ 1 \leqq r \leqq p-1 }$ ) は ${ p }$ の倍数であり、 ${ n^r }$ ( ${ 1 \leqq r \leqq p-1 }$ )が自然数なので

　　 $\sum_{r=1}^{p-1}{}_pC_r n^r$

は ${ p }$ の倍数となる。　したがって

　　 $(1+n)^p -n^p -1$

は ${ p }$ で割り切れる。

倭算数理研究所