倭算数理研究所

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ほむらに葬られなかった問題　その2

高校数学 サブカルチャ

魔法少女まどか☆マギカ #10 より。

【問題】

{ p } は素数、 { n } は任意の自然数とします。

　　 { (1+n)^p - n^p - 1 }

が { p } で割り切れることを証明してください。

【解答】

二項定理より

　　{ \displaystyle (1+n)^p = \sum_{r=0}^p{}_pC_r 1^{p-r}n^r = \sum_{r=0}^p{}_pC_r n^r }

なので

　　{ \displaystyle (1+n)^p -n^p -1 = \sum_{r=1}^{p-1}{}_pC_r n^r }

ここで { {}_pC_r } （ただし { 1 \leqq r \leqq p-1 }）が { p } の倍数であることを示す。

　　{ \displaystyle {}_pC_r = \frac{p!}{(p-r)!r!} = p\cdot\frac{(p-1)!}{(p-r)!r!} }

{ p } は素数なので { (p-r)!r! } （ただし { 1 \leqq r \leqq p-1 }）は素因数に { p } を含まない。　一方 { {}_pC_r } は自然数なので、結局

　　{ \displaystyle \frac{(p-1)!}{(p-r)!r!} }

が自然数であることが分かる。　つまり { {}_pC_r } （ただし { 1 \leqq r \leqq p-1 }）は { p } の倍数。

{ {}_pC_r } ({ 1 \leqq r \leqq p-1 }) は { p } の倍数であり、{ n^r } ({ 1 \leqq r \leqq p-1 })が自然数なので

　　{ \displaystyle \sum_{r=1}^{p-1}{}_pC_r n^r }

は { p } の倍数となる。　したがって

　　{ \displaystyle (1+n)^p -n^p -1 }

は { p } で割り切れる。

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