高校数学でフィボナッチ数列の一般項を導く

フィボナッチ数列

フィボナッチ数列は次の ${ F_0,\,F_1 }$ , 漸化式で定義されます：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \begin{cases} F_0 = 0 \\ F_1 = 1 \\ F_{n+2} = F_{n+1} + F_n \end{cases} \end{align*} }$

高校では ${ n = 1,\,2,\,3,\, \cdots }$ ですが、ここでは ${ n = 0,\,1,\,2,\,3,\, \cdots }$ とします。

特性方程式とその解

漸化式より

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} F_{n+2} - F_{n+1} - F_n = 0 \end{align*} }$

よって特性方程式は

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} t^2 - t -1 = 0 \end{align*} }$

となります。　この方程式の2つの解を ${ \alpha,\,\beta \; (\alpha < \beta) }$ とすると

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \alpha &= \frac{1-\sqrt{5}}{2}, & \beta &= \frac{1+\sqrt{5}}{2} &\cdots(1) \end{align*} }$

となります。

数列 ${ a_n }$

漸化式より

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} F_{n+2} - \alpha F_{n+1} = \beta (F_{n+1} - \alpha F_n) \end{align*} }$

ここで

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} a_n = F_{n+1} - \alpha F_n \end{align*} }$

とおくと、数列 ${ a_n }$ の初項 ( ${ n = 0 }$ ) と漸化式は

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \begin{cases} a_0 = F_1 - \alpha F_0 = 1 \\ a_{n+1} = \beta a_n \end{cases} \end{align*} }$

となるので、 ${ a_n }$ は等比数列であることが分かり、一般項は

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} a_n = \beta^n \qquad\cdots(2) \end{align*} }$

となります（ ${ n = 0,\,1,\,2,\,3,\,\cdots }$ に注意*1）。

数列 ${ b_n }$

漸化式より

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} F_{n+2} - \beta F_{n+1} = \alpha (F_{n+1} - \beta F_n) \end{align*} }$

ここで

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} b_n = F_{n+1} - \beta F_n \end{align*} }$

とおくと、数列 ${ b_n }$ の初項 ( ${n = 0}$ ) と漸化式は

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \begin{cases} b_0 = F_1 - \beta F_0 = 1 \\ b_{n+1} = \alpha b_n \end{cases} \end{align*} }$

となるので、これも等比数列であることが分かり、この数列の一般項は

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} b_n = \alpha^n \qquad\cdots(3) \end{align*} }$

となります。

${ F_n }$ の一般項

(2), (3) 式より

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} F_{n+1} - \alpha F_n &= \beta^n \\ F_{n+1} - \beta F_n &= \alpha^n \end{align*} }$

辺々をそれぞれ引くと

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} (\beta - \alpha) F_n &= \beta^n - \alpha^n \\[2mm] \therefore \; F_n &= \frac{\beta^n - \alpha^n}{\beta - \alpha} \end{align*} }$

${ \alpha,\,\beta }$ に (1) 式の値を代入すると ${ \beta - \alpha = \sqrt{5} }$ より

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left\{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right\} \end{align*} }$