とある高校数学の高次恒等式

今回は3次方程式の解の公式を導くのに使う3次の恒等式を導きます。　この恒等式は解の公式を導く以外にもしばしば使われるので、学生要チェック。

3元3次式の因数分解の公式

以下の恒等式（因数分解の公式）が成り立つ：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 -xy - yz - zx) \end{align*} }$

証明

ここでは右辺を x の多項式として展開して左辺と一致するという方法で証明します。

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} &(x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 -xy - yz - zx) \\[2mm] &= \{\mathbf{x} + (y + z) \}\{ \mathbf{x}^2 - (y + z)\mathbf{x} + (y^2 -yz + z^2) \} \\[2mm] &= \mathbf{x}^3 + \{ - (y + z) + (y + z) \}\mathbf{x}^2 \\ &\qquad+ \{ (y^2 -yz + z^2) - (y + z)^2\}\mathbf{x} + (y + z)(y^2 -yz + z^2) \\[2mm] &= \mathbf{x}^3 -3yz\mathbf{x} + y^3 + z^3 \\[2mm] &= x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz \end{align*} }$

3元2次式の因数分解

${ \omega }$ を1の3乗根のうち実数でない（すなわち1でない）ものとして、以下の恒等式（因数分解の公式）が成り立つ：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx = (x + \omega y + \omega^2z)(x + \omega^2y + \omega^4z) \end{align*} }$

${ \omega }$ の性質

まずは証明に使う ${ \omega }$ の性質を導きます。　 ${ \omega }$ が1の3乗根なので ${ \omega^3 = 1 }$ が成り立つ。　これより

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} & \omega^3 - 1 = 0 \\ & (\omega - 1)(\omega^2 + \omega + 1) = 0 \end{align*} }$

ここで ${ \omega \ne 1 }$ より ${ \omega }$ は ${ \omega^2 + \omega + 1 = 0 }$ を満たす。　よって ${ \omega }$ は次の恒等式を満たします：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \begin{cases} \omega^3 = 1 \\ \omega^2 + \omega + 1 = 0 \end{cases} \end{align*} }$

証明

ここでも、右辺を x の多項式として展開して、左辺と等しいことを示します。

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} &(x + \omega y + \omega^2 z)(x + \omega^2 y + \omega^4 z)\\[2mm] &= \{ \mathbf{x} + (\omega y + \omega^2 z) \}\{ \mathbf{x} + (\omega^2 y + \omega z) \} \\[2mm] &= \mathbf{x}^2 + \{ (\omega^2 y + \omega z) + (\omega y + \omega^2 z) \}\mathbf{x} + (\omega y + \omega^2 z)(\omega^2 y + \omega z)\\[2mm] &= \mathbf{x}^2 + (\omega^2 + \omega)(y + z)\mathbf{x} + \omega^3 y^2 + (\omega^2 + \omega^4)yz + \omega^3 z^2 \\[2mm] &= \mathbf{x}^2 - (y + z)\mathbf{x} + y^2 - yz + z^2\\[2mm] &= x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \end{align*} }$

別解

上記の証明の他にも、 ${ x }$ の2次方程式 ${ x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = 0 }$ を2次方程式の解の公式で解いて、その解を用いて因数分解をしても同じ答えが導けます。

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} x^2& - (y + z) x - yz + z^2 = 0 \\[2mm] x &= \frac{y+z \pm \sqrt{(y+z)^2 -4(y^2-yz+z^2)}}{2} \\[2mm] &= \frac{y+z \pm \sqrt{3}(y-z)i}{2} \\[2mm] &= \frac{1\pm\sqrt{3}i}{2}y + \frac{1\mp\sqrt{3}i}{2}z \end{align*} }$

式内は復号同順。　これと

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \omega,\,\omega^2 = \frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2} \end{align*} }$

を用いれば、上記の恒等式を証明できます。

いくつかの系

3元3次式の因数分解

次の恒等式が成り立つ：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x + \omega y + \omega^2 z)(x + \omega^2 y + \omega^4 z) \end{align*} }$

方程式の解

${ x }$ の3次方程式 ${ x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 0 }$ の解は

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} x &= - y - z,\; - \omega y - \omega^2 z,\; - \omega^2 y - \omega^4 z \\[2mm] &= -\omega^k y - \omega^{2k} z & (k = 0,\,1,\,2) \end{align*} }$