今回は3次方程式の解の公式を導くのに使う3次の恒等式を導きます。 この恒等式は解の公式を導く以外にもしばしば使われるので、学生要チェック。
3元3次式の因数分解の公式
以下の恒等式(因数分解の公式)が成り立つ:証明
ここでは右辺を x の多項式として展開して左辺と一致するという方法で証明します。
3元2次式の因数分解
の性質
まずは証明に使う
ここで より
は
を満たす。 よって
は次の恒等式を満たします:
証明
ここでも、右辺を x の多項式として展開して、左辺と等しいことを示します。
別解
上記の証明の他にも、
式内は復号同順。 これと
を用いれば、上記の恒等式を証明できます。
いくつかの系
3元3次式の因数分解
次の恒等式が成り立つ:方程式の解
で与えられる。