高校数学で求める球の体積：2次元

（なるべく）高校数学を使って球の体積を求めるシリーズ（目次）。　今回は半径 ${ r }$ の2次元球 ${ B_2(r) = \{ (x, y) \in \mathbf{R}^2 | x^2+y^2 \le r^2 \} }$ の体積

　　 $V_2(r) = \int_{B_2(r)}dxdy$

を求めます。　 ${ B_2(r) }$ は半径 ${ r }$ の「円」です。

${ B_2(r) }$ を ${ x }$ 軸に垂直で球の中心から距離 ${ x }$ の直線で切ると、半径 ${ \sqrt{r^2-x^2} }$ の「1次元球」（線分）になり、その「1次元体積」（長さ）は、前回の結果より

　　 ${ \displaystyle V_1(\sqrt{r^2-x^2}) = 2\sqrt{r^2-x^2} }$

となります。

したがって、 ${ V_2(r) }$ は以下のようになります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} V_2(r) &= \int_{-r}^r V_1(\sqrt{r^2-x^2}) \; dx \\[2mm] &= 2\int_{-r}^r \sqrt{r^2-x^2} \; dx \\[2mm] &= 4 \int_0^r \sqrt{r^2 - x^2} \; dx \end{align*}}$

${ x = r\sin\theta }$ とおいて積分変数を ${ x }$ から ${ \theta }$ に変換します：

積分測度*1: $dx = r \cos \theta d\theta$
積分範囲: $\theta : 0 \rightarrow \frac{\pi}{2}$
被積分関数 *2: $\sqrt{r^2-x^2} = \sqrt{r^2-r^2\sin^2\theta} = r\cos\theta$

したがって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} V_2(r) &= 4\int_0^{\frac{\pi}{2}} (r\cos\theta) r\cos\theta d\theta \\ &= 4r^2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta d\theta \end{align*}}$

ここで ${ \cos\theta }$ の倍角の公式

　　 $\cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$

より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta d\theta &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 2\theta}{2}d\theta \\[2mm] &= \left[\frac{1}{2}\theta + \frac{1}{4}\sin 2\theta\right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\[2mm] &= \frac{\pi}{4} \end{align*}}$