高校数学で求める球の体積：3次元

（なるべく）高校数学を使って球の体積を求めるシリーズ（目次）。　今回は3次元。　半径 ${ r }$ の3次元球 ${ B_3(r) = \{ (x, y, z) \in \mathbf{R}^3 | x^2+y^2+z^2 \le r^2 \} }$ の体積

　　 $V_3(r) = \int_{B_3(r)}dxdydz$

を求めます。　 ${ B_3(r) }$ は半径 ${ r }$ の普通の「球」です。

${ B_3(r) }$ を ${ x }$ 軸に垂直で球の中心から距離 ${ x }$ の平面で切ると、半径 ${ \sqrt{r^2-x^2} }$ の「2次元球」（円）になり、その「2次元体積」（面積）は、前回の結果より

　　 $V_2(\sqrt{r^2-x^2}) = \pi(r^2-x^2)$

となります。　したがって、V₃(r) は以下のようになります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} V_3(r) &= \int_{-r}^r V_2(\sqrt{r^2-x^2}) dx \\[2mm] &= \pi \int_{-r}^r (r^2-x^2) dx \\[2mm] &= 2\pi \int_0^r (r^2-x^2) dx \end{align*}}$

${ x }$ 積分は簡単。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \int_0^r (r^2-x^2) dx &= \left[r^2 x - \frac{1}{3}x^3\right]_0^r \\[2mm] &= \frac{2}{3}r^3 \end{align*}}$

結果をまとめると

　　 $V_3(r) = \frac{4}{3} \pi r^3$

倭算数理研究所

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高校数学で求める球の体積：3次元