倭算数理研究所

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とある三角関数の積分公式

高校数学

今回は、{ n } 次元球の体積を求める際に使う三角関数の積分公式を導きます。

{ n } を自然数とする。　次の積分

　　{ \displaystyle \begin{align*} I_n &= \int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n\theta d\theta,& J_n &= \int_0^\frac{\pi}{2}\cos^n\theta d\theta \end{align*} }

を計算せよ。

{ I_n = J_n } を示す

積分 { I_n } に対して変数変換 { \theta \rightarrow \varphi = \tfrac{\pi}{2} - \theta } を行うと

よって

　　{ \displaystyle \begin{align*} I_n &= -\int_\frac{\pi}{2}^0 \cos^n\varphi\, d\varphi \\ &= \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^n\varphi\, d\varphi \\ &= J_n \end{align*} }

{ I_1 } を求める

　　{ \displaystyle \begin{align*} I_1 &= \int_0^\frac{\pi}{2} \sin\theta d\theta \\ &= \left[\cos\theta\right]_0^\frac{\pi}{2} \\ &= 1 \end{align*} }

{ I_2 } を求める

　　{ \displaystyle \begin{align*} I_2 &= \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^2\theta d\theta \\ &= \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{1-\cos2\theta}{2}d\theta \\ &= \left[\frac{1}{2}\theta - \frac{1}{4}\cos2\theta\right]_0^\frac{\pi}{2} \\ &= \frac{\pi}{4} \end{align*} }

{ I_n } が満たす漸化式を求める

{ n \ge 3 } とする。

　　{ \displaystyle \begin{align*} I_n &= \int_0^\frac{\pi}{2} \cos\theta\cos^{n-1}\theta d\theta \\ &= \int_0^\frac{\pi}{2} (\sin\theta)'\cos^{n-1}\theta d\theta \\ &= \left[\sin\theta\cos^{n-1}\theta\right]_0^\frac{\pi}{2} - \int_0^\frac{\pi}{2} \sin\theta (\cos^{n-1}\theta)' d\theta \\ &= (n-1) \int_0^\frac{\pi}{2}\sin^2\theta \cos^{n-2}\theta d\theta \\ &= (n-1) \int_0^\frac{\pi}{2} (1-\cos^2\theta) \cos^{n-2}\theta d\theta \\ &= (n-1) \left\{\int_0^\frac{\pi}{2} \cos^{n-2}\theta d\theta - \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^n\theta d\theta \right\} \\ &= (n-1)(I_{n-2} - I_n) \end{align*} }

よって

　　{ \displaystyle \begin{align*} I_n = (n-1)(I_{n-2} - I_n) \end{align*} }

これを { I_n } について解くと

　　{ \displaystyle \begin{align*} I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2} \end{align*} }

{ I_n } を求める

{ n } が奇数の場合
{ n \ge 3 } のとき、上記で導いた漸化式より

　　{ \displaystyle \begin{align*} I_n &= \frac{n-1}{n}I_{n-2} \\ &= \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}I_{n-4} \\ & \qquad \vdots \\ &= \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{2}{3}I_1 \\ &= \frac{(n-1)(n-3)\cdots 2}{n(n-2)\cdots 3} I_1 \end{align*} }

ここで { I_1 = 1 } より

　　{ \displaystyle \begin{align*} I_n &= \frac{(n-1)(n-3)\cdots 2}{n(n-2)\cdots 3} \\ &= \frac{(n-1)!!}{n!!} \end{align*} }

{ n!! } は高校数学では出てこないかもしれませんが、階乗の親戚。　整数を1個とばしで掛けていくだけ（{ 0!! = 1 } に注意）：

　　{ \displaystyle \begin{align*} n!! = \begin{cases} 1 & n=0,\,1 \\ n(n-2)(n-4)\cdots 2 & (n\ge 2,\,n {\rm : even}) \\ n(n-2)(n-4)\cdots 1 & (n\ge 2,\,n {\rm : odd}) \end{cases} \end{align*} }

{ I_n } の表式は { n = 1 } のときも成り立つ。

n が偶数の場合
奇数の場合と同様にして

　　{ \displaystyle \begin{align*} I_n = \frac{(n-1)(n-3)\cdots 3}{n(n-2)\cdots 4} I_2 \end{align*} }

ここで { I_2 = \tfrac{\pi}{4} } より

　　{ \displaystyle \begin{align*} I_n &= \frac{(n-1)(n-3)\cdots 3}{n(n-2)\cdots 4}\cdot\frac{\pi}{4} \\ &= \frac{(n-1)(n-3)\cdots 3}{n(n-2)\cdots 4 \cdot 2}\cdot\frac{\pi}{2} \\ &= \frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot \frac{\pi}{2} \end{align*} }

この表式は { n = 2 } のときも成り立つ。

結果

結果をまとめると

　　{ \displaystyle \begin{align*} I_n = J_n = \begin{cases} \dfrac{(n-1)!!}{n!!} & (n {\rm : odd}) \\ \\ \dfrac{(n-1)!!}{n!!}\dfrac{\pi}{2} & (n {\rm : even}) \end{cases} \end{align*} }