極座標のヤコビ行列とヤコビアン： 4次元

いろいろな次元で極座標のヤコビ行列とヤコビアンを求めるシリーズ（目次）。　今回は4次元。

4次元極座標

4次元の極座標は次のように定義されています：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &\begin{cases} x_1 = r\cos\theta_1 \\ x _2 = r\sin\theta_1\cos\theta_2 \\ x_3 = r\sin\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_3 \\ x_4 = r\sin\theta_1\sin\theta_2\sin\theta_3 \end{cases} & \begin{pmatrix} 0 \le r < \infty \\ 0 \le \theta_1 \le \pi \\ 0 \le \theta_2 \le \pi \\ 0 \le \theta_3 \le 2\pi \end{pmatrix} \end{align*}}$

4次元極座標の体積要素

ヤコビアンを前回までの方法で計算するのは結構大変なので、（本質的には同じだけど）もう少し簡単な方法で計算しましょう。

ヤコビアンの計算方法

位置ベクトル

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\cos\theta_1 \\ r\sin\theta_1\cos\theta_2 \\ r\sin\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_3 \\ r\sin\theta_1\sin\theta_2\sin\theta_3 \end{pmatrix} \end{align*}}$

に対して

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \mathbf{e}_r &= \frac{\partial}{\partial r}\mathbf{x}, & \mathbf{e}_1 &= \frac{\partial}{\partial \theta_1}\mathbf{x}, & \mathbf{e}_2 &= \frac{\partial}{\partial \theta_2}\mathbf{x}, & \mathbf{e}_3 &= \frac{\partial}{\partial \theta_3}\mathbf{x} \end{align*}}$

とおくと、

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \mathbf{e}_r &= \begin{pmatrix} \cos\theta_1 \\ \sin\theta_1\cos\theta_2 \\ \sin\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_3 \\ \sin\theta_1\sin\theta_2\sin\theta_3 \end{pmatrix}, & \mathbf{e}_1 &= r\begin{pmatrix} -\sin\theta_1 \\ \cos\theta_1\cos\theta_2 \\ \cos\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_3 \\ \cos\theta_1\sin\theta_2\sin\theta_3 \end{pmatrix} \\ \mathbf{e}_2 &= r\sin\theta_1 \begin{pmatrix} 0 \\ -\sin\theta_2 \\ \cos\theta_2\cos\theta_3 \\ \cos\theta_2\sin\theta_3 \end{pmatrix}, & \mathbf{e}_4 &= r\sin\theta_1\sin\theta_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -\sin\theta_3 \\ \quad\cos\theta_3 \end{pmatrix} \end{align*}}$

となり、これらは

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \mathbf{e}_r\cdot\mathbf{e}_1 &= 0, & \mathbf{e}_r\cdot\mathbf{e}_2 &= 0, & \mathbf{e}_r\cdot\mathbf{e}_3 &= 0 \\ && \mathbf{e}_1\cdot\mathbf{e}_2 &= 0, & \mathbf{e}_1\cdot\mathbf{e}_3 &= 0 \\ &&&& \mathbf{e}_2\cdot\mathbf{e}_3 &= 0 \end{align*}}$

を満たす、つまりこれらは直交系をなします。　このとき、ヤコビアンはこれらのベクトルを用いて

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \left|\frac{\partial (x_1, x_2, x_3, x_4)}{\partial (r, \theta_1, \theta_2, \theta_3)}\right| = |\mathbf{e}_r||\mathbf{e}_1||\mathbf{e}_2||\mathbf{e}_3| \end{align*}}$

と計算できます（大雑把に言えば、これらのベクトルが作る「4次元直方体」の体積）。

ヤコビアン

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |\mathbf{e}_r| &= 1, & |\mathbf{e}_1| &= r, & |\mathbf{e}_2| &= r\sin\theta_1, & |\mathbf{e}_3| &= r\sin\theta_1\sin\theta_2 \end{align*}}$

より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \left|\frac{\partial (x_1, x_2, x_3, x_4)}{\partial (r, \theta_1, \theta_2, \theta_3)}\right| = r^3\sin^2\theta_1\sin\theta_2 \end{align*}}$