大学数学で求める球の体積：3次元

大学数学を使って球の体積を求めるシリーズ（目次）。　今回は3次元球の体積。結果は「球の体積の公式」になります。

3次元球の体積

3次元球

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} B_3(a) = \{(x,\,y) \in \mathbf{R}^3 | x^2 + y^2 + z^2 = a^2\} \end{align*}}$

の体積を求めます。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} V_3(a) = \int_{B_3(a)}dxdydz \end{align*}}$

「極座標のヤコビ行列とヤコビアン： 3次元」より、3次元極座標の体積要素は ${ r^2\sin\theta dr d\theta d\phi }$ となるので（積分範囲も注意）

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} V_3(a) &= \int_{B_3(a)} r^2 \sin\theta dr d\theta d\varphi \\ &= \int_0^a r^2 dr \int_0^{\pi} \sin\theta d\theta \int_0^{2\pi} d\varphi \\ &= \frac{1}{3}a^3 \times 2 \times 2\pi \\ &= \frac{4}{3}\pi a^3 \end{align*}}$