大学数学で求める球の体積：4次元

大学数学を使って球の体積を求めるシリーズ（目次）。　今回は4次元球の体積。

4次元球の体積

4次元球

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} B_4(r) = \{(x_1,\,x_2,\,x_3,\,x_4) \in \mathbf{R}^4 | \sum_{i=1}^4 x_i^2 = r^2\} \end{align*}}$

の体積を求めます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} V_4(r) = \int_{B_4(r)}dx_1dx_2dx_3dx_4 \end{align*}}$

「極座標のヤコビ行列とヤコビアン： 4次元」より、4次元極座標の体積要素は ${ r^3dr \sin^2\theta_1 \sin\theta_2 d\theta_1 d\theta_2 d\theta_3 }$ となるので

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} V_4(r) &= \int_{B_4(r)}r^3\sin^2\theta_1\sin\theta_2 dr d\theta_1 d\theta_2d\theta_3 \\[4mm] &= \int_0^r r^3dr \int_0^\pi \sin^2\theta_1d\theta_1 \int_0^\pi \sin\theta_2 d\theta_2 \int_0^{2\pi} d\theta_3 \end{align*}}$

ここで

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &\int_0^r r^3 dr = \frac{1}{4}r^4 \\[4mm] &\int_0^\pi \sin^2\theta_1d\theta_1 = 2I_2 = \frac{\pi}{2} \\[4mm] &\int_0^\pi \sin\theta_2 d\theta_2 = 2I_1 = 2 \\[4mm] &\int_0^{2\pi} d\theta_3 = 2\pi \end{align*}}$