倭算数理研究所

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とあるガンマ関数の公式目録

特殊関数の公式を証明していくシリーズ(目次)。 

ガンマ関数の定義

ガンマ関数は以下のように定義される:

  { \displaystyle\begin{align*}
  \Gamma (x) = \int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}dt
\end{align*}}

公式

公式1: { \Gamma(x+1) = x\Gamma(x) }
収束の評価などは行ってませんがご了承を。 証明は部分積分するだけ。

  { \displaystyle\begin{align*}
  \Gamma(x+1)
    &= \int_0^\infty e^{-t}t^x dt \\
    &= \int_0^\infty (-e^{-t})'t^x dt \\
    &= \left[-e^{-t}t^x\right]_0^\infty + x\int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}dt \\
    &= x\Gamma(x)
\end{align*}}

公式2: { \Gamma(1) }
これは単なる指数関数の積分

  { \displaystyle\begin{align*}
  \Gamma(1)
    &= \int_0^\infty e^{-t}dt \\
    &= \left[-e^{-t}\right]_0^\infty \\
    &= 1
\end{align*}}

公式3: { \Gamma(\tfrac{1}{2}) }
定義より

  { \displaystyle\begin{align*}
  \Gamma(\tfrac{1}{2})
    &= \int_0^\infty e^{-t}t^{-\frac{1}{2}}dt \\
    &= \int_0^\infty e^{-t} \frac{dt}{\sqrt{t}}
\end{align*}}

ここで変数変換 { t \rightarrow r = \sqrt{t} } を施すと

よって

  { \displaystyle\begin{align*}
  \Gamma(\tfrac{1}{2})
     &= 2\int_0^\infty e^{-r^2} dr \\
     &= 2\frac{\sqrt{\pi}}{2} \\
     &= \sqrt{\pi}
\end{align*}}

途中、Gauss 積分の公式を使いました。

公式4: { \Gamma(n+1) }
ガンマ関数は階乗を拡張したような関数ですね:

  { \displaystyle\begin{align*}
  \Gamma(n+1)
    &= n\Gamma(n) \\
    &= n(n-1)\Gamma(n-1) \\
    &\quad\vdots \\
    &= n(n-1)\cdots 1 \cdot \Gamma(1) \\
    &= n(n-1)\cdots 1 & (\because \Gamma(1) = 1) \\
    &= n!
\end{align*}}

ダブル・ファクトリアルの表式は証明省略。

公式5: { \Gamma(n+\tfrac{1}{2}) }
示し方は { \Gamma(1) } の場合と同じ:

  { \displaystyle\begin{align*}
  \Gamma(n+\tfrac{1}{2})
    &= \Gamma(\tfrac{2n+1}{2}) \\
    &= \tfrac{2n-1}{2}\Gamma(\tfrac{2n-1}{2}) \\
    &= \tfrac{2n-1}{2}\tfrac{2n-3}{2}\Gamma(\tfrac{2n-3}{2}) \\
    &\quad\vdots \\
    &= \tfrac{2n-1}{2}\tfrac{2n-3}{2}\cdots \tfrac{1}{2} \cdot \Gamma(\tfrac{1}{2}) \\
    &= \tfrac{2n-1}{2}\tfrac{2n-3}{2}\cdots \tfrac{1}{2}\sqrt{\pi} & (\because \Gamma(\tfrac{1}{2}) = \sqrt{\pi})\\
    &= \frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi}
\end{align*}}

まとめ

  { \displaystyle\begin{align*}
  \Gamma(x+1) &= x\Gamma(x) & (x \in \mathbf{R}) \\
  \Gamma(1) &= 1 \\
  \Gamma(\tfrac{1}{2}) &= \sqrt{\pi} \\
  \Gamma(n+1) &= n! = \frac{(2n)!!}{2^n} & (n \in \mathbf{N}) \\
  \Gamma(n+\tfrac{1}{2}) &= \frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi} & (n \in \mathbf{N})
\end{align*}}

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