とあるガンマ関数の公式目録

特殊関数の公式を証明していくシリーズ（目次）。　

ガンマ関数の定義

ガンマ関数は以下のように定義される：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \Gamma (x) = \int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}dt \end{align*}}$

公式

公式1: ${ \Gamma(x+1) = x\Gamma(x) }$

収束の評価などは行ってませんがご了承を。　証明は部分積分するだけ。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \Gamma(x+1) &= \int_0^\infty e^{-t}t^x dt \\ &= \int_0^\infty (-e^{-t})'t^x dt \\ &= \left[-e^{-t}t^x\right]_0^\infty + x\int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}dt \\ &= x\Gamma(x) \end{align*}}$

公式2: ${ \Gamma(1) }$

これは単なる指数関数の積分

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \Gamma(1) &= \int_0^\infty e^{-t}dt \\ &= \left[-e^{-t}\right]_0^\infty \\ &= 1 \end{align*}}$

公式3: ${ \Gamma(\tfrac{1}{2}) }$

定義より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \Gamma(\tfrac{1}{2}) &= \int_0^\infty e^{-t}t^{-\frac{1}{2}}dt \\ &= \int_0^\infty e^{-t} \frac{dt}{\sqrt{t}} \end{align*}}$

ここで変数変換 ${ t \rightarrow r = \sqrt{t} }$ を施すと

積分測度 ${ dr = \frac{dt}{2\sqrt{t}} }$
積分区間 ${ r : 0 \rightarrow \infty }$

よって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \Gamma(\tfrac{1}{2}) &= 2\int_0^\infty e^{-r^2} dr \\ &= 2\frac{\sqrt{\pi}}{2} \\ &= \sqrt{\pi} \end{align*}}$

途中、Gauss 積分の公式を使いました。

公式4: ${ \Gamma(n+1) }$

ガンマ関数は階乗を拡張したような関数ですね：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \Gamma(n+1) &= n\Gamma(n) \\ &= n(n-1)\Gamma(n-1) \\ &\quad\vdots \\ &= n(n-1)\cdots 1 \cdot \Gamma(1) \\ &= n(n-1)\cdots 1 & (\because \Gamma(1) = 1) \\ &= n! \end{align*}}$

ダブル・ファクトリアルの表式は証明省略。

公式5: ${ \Gamma(n+\tfrac{1}{2}) }$

示し方は ${ \Gamma(1) }$ の場合と同じ：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \Gamma(n+\tfrac{1}{2}) &= \Gamma(\tfrac{2n+1}{2}) \\ &= \tfrac{2n-1}{2}\Gamma(\tfrac{2n-1}{2}) \\ &= \tfrac{2n-1}{2}\tfrac{2n-3}{2}\Gamma(\tfrac{2n-3}{2}) \\ &\quad\vdots \\ &= \tfrac{2n-1}{2}\tfrac{2n-3}{2}\cdots \tfrac{1}{2} \cdot \Gamma(\tfrac{1}{2}) \\ &= \tfrac{2n-1}{2}\tfrac{2n-3}{2}\cdots \tfrac{1}{2}\sqrt{\pi} & (\because \Gamma(\tfrac{1}{2}) = \sqrt{\pi})\\ &= \frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi} \end{align*}}$

まとめ

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \Gamma(x+1) &= x\Gamma(x) & (x \in \mathbf{R}) \\ \Gamma(1) &= 1 \\ \Gamma(\tfrac{1}{2}) &= \sqrt{\pi} \\ \Gamma(n+1) &= n! = \frac{(2n)!!}{2^n} & (n \in \mathbf{N}) \\ \Gamma(n+\tfrac{1}{2}) &= \frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi} & (n \in \mathbf{N}) \end{align*}}$