6次の因数分解を考える - 倭算数理研究所

確認

まずは、後で使う2次と3次の因数分解の公式を確認しておきましょう。

2次の因数分解の公式

平方の差の因数分解公式：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \end{align*}}$

3次の因数分解の公式

立方の和と差の因数分解公式：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x^3 - y^3 &= (x - y)(x^2 + xy + y^2) \\ x^3 + y^3 &= (x + y)(x^2 - xy + y^2) \end{align*}}$

6次の因数分解

さて、上記の公式を使って、6乗の差を因数分解してみましょう：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x^6 - y^6 \end{align*}}$

この因数分解を2通りで行ってみます。

${ (x^3)^2 - (y^3)^2 }$ とみなして因数分解

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x^6 - y^6 &= (x^3)^2 - (y^3)^2 \\ &= (x^3 - y^3)(x^3 + y^3) \\ &= (x - y)(x^2 + xy + y^2)(x + y)(x^2 - xy + y^2) \end{align*}}$

${ (x^2)^3 - (y^2)^3 }$ とみなして因数分解

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x^6 - y^6 &= (x^2)^3 - (y^2)^3 \\ &= (x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4) \\ &= (x - y)(x + y)(x^4 + x^2y^2 + y^4) \end{align*}}$

これらの結果を見比べると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x^4 + x^2y^2 + y^4 = (x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2) \end{align*}}$

という因数分解の公式が得られます。　まぁ、こんなマワリクドイことをしなくても、以下のように因数分解できますけどね：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x^4 + x^2y^2 + y^4 &= x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - x^2y^2 \\ &= (x^2 + y^2)^2 -(xy)^2 \\ &= (x^2 + y^2 - xy)(x^2 + y^2 + xy) \\ &= (x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2) \end{align*}}$