等比級数の公式あれこれ - 倭算数理研究所

唐突ですが、以下の和をきちんと計算できるでしょうか？

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} (1)\quad&\sum_{k=1}^n r^{k-1} \\[4mm] (2)\quad&\sum_{k=1}^n r^k \\[4mm] (3)\quad&\sum_{k=1}^{n-1} r^{k-1} \\[4mm] (4)\quad&\sum_{k=1}^{n-1} r^k \end{align*} }$

ただし、

r ≠ 1
(1), (3) ではさらに ${ r \ne 0 }$ *1
(3), (4) ではさらに ${ n \ge 2 }$ *2

とします。　それぞれどこが違うかわかりますよね？　これらはどれも等比級数（等比数列の和）になっています。

等比級数の公式

一応復習として、等比級数の公式を書き下しておきます。　初項 ${ a }$ 、公比 ${ r }$ の等比数列の第 n 項までの和は以下で与えられるのでした：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} &= \sum_{k=1}^n ar^{k-1} \\ &= \begin{cases} \dfrac{a(1-r^n)}{1-r} & (r \ne 1) \\ na & (r = 1) \end{cases} \end{align*} }$

この記事では ${ r = 1 }$ の場合は扱いませんが、念のため書いておきました。

(1)

(1)の和は

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \sum_{k=1}^n r^{k-1} = 1 + r + r^2 + \cdots + r^{n-1} \end{align*} }$

より初項1、公比 ${ r }$ の等比級数です。　したがって、等比級数の公式より、

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \sum_{k=1}^n r^{k-1} = \frac{1-r^n}{1-r} \end{align*} }$

となります。　この和が他の和の基本になります。

(2)

(2)の和を書き下して変形すると

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \sum_{k=1}^n r^k &= r + r^2 + r^3 + \cdots + r^n \\ &= r(1 + r + r^2 + \cdots + r^{n-1}) \\ &= r\sum_{k=1}^n r^{k-1} \end{align*} }$

となり（和を書き下さず変形できる方が望ましい）、ここで(1)の和を使うと

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \sum_{k=1}^n r^k = \frac{r(1-r^n)}{1-r} \end{align*} }$

という結果を得ます。　初項 ${ r }$ 、公比 ${ r }$ の等比級数と思ってもいいですね。

(3)

(3)の和は、(1)の和で ${ n \rightarrow n-1 }$ の置き換えをすれば OK です：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \sum_{k=1}^{n-1} r^{k-1} &= 1 + r + r^2 + \cdots + r^{n-2} \\ &= \frac{1-r^{n-1}}{1-r} \end{align*} }$

(4)

同様に、(4)の和は(2)の和で ${ n \rightarrow n-1 }$ の置き換えをすれば計算できます：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \sum_{k=1}^{n-1} r^k &= r + r^2 + r^3 + \cdots + r^{n-1} \\ &= \frac{r(1-r^{n-1})}{1-r} \end{align*} }$

結果のまとめ

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} (1)\quad&\sum_{k=1}^n r^{k-1} = \frac{1-r^n}{1-r} \\[4mm] (2)\quad&\sum_{k=1}^n r^k = \frac{r(1-r^n)}{1-r} \\[4mm] (3)\quad&\sum_{k=1}^{n-1} r^{k-1} = \frac{1-r^{n-1}}{1-r} \\[4mm] (4)\quad&\sum_{k=1}^{n-1} r^k = \frac{r(1-r^{n-1})}{1-r} \end{align*} }$

とりあえず、困ったら (1) の基本形に無理矢理合わせてやりましょう。

*1:級数の第1項が ${0^0 }$ になるのを防ぐため。

*2:1項以上の和にするため。