複素変数の三角関数 - 倭算数理研究所

もう少し三角関数の公式シリーズ（目次）。　この記事では、引数が複素数の場合の三角関数の表式を導きます。　もう少し具体的に言うと、 ${ \sin(x + iy) }$ や ${ \cos(x + iy) }$ などを ${ \sin x }$ や ${ \cos y }$ などを使って表そうということです。　ちなみに、この記事中では ${ x,\,y }$ は実数とします（別に複素数でも式自体は成り立ちますが）。

以前の記事「三角関数の公式を復習する (2) ：負の引数、純虚数の引数」で導いた公式

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin ix &= i\sinh x \\ \cos ix &= \cosh x \end{align*}}$

より、複素関数の三角関数では、自然に双曲線関数が出てきます。

正弦・余弦

正弦・余弦関数は、加法定理を使えば簡単に導けます。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin(x + iy) &= \sin x \cos iy + \cos x \sin iy \\ &= \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y\\[2mm] \cos(x + iy) &= \cos x \cos iy - \sin x \sin iy \\ &= \cos x \cosh y - i \sin x \sinh y \end{align*}}$

（ ${ x,\,y }$ が実数なら）実部と虚部がキチンと分離された表式になってます。

正接

複素変数の正接関数を導くには、「もう少し三角関数の公式：正接の加法定理・再考」で導いた加法定理の表式

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \tan(\alpha + \beta) = \frac{\sin 2\alpha + \sin 2\beta}{\cos 2\alpha + \cos 2\beta} \end{align*}}$

を使います。　後は正弦・余弦で導いたのと同じです：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \tan(x + iy) &= \frac{\sin 2x + \sin 2iy}{\cos 2x + \cos 2iy} \\[2mm] &= \frac{\sin 2x + i\sinh 2y}{\cos 2x + \cosh 2y} \end{align*}}$

この表式は、分母が実数、分子は実部と虚部が分離されているので、全体としても実部と虚部が分離された形になっています。　「三角関数の公式を復習する (3) ：三角関数の加法定理」で導いた正接の加法定理では、このような形にはなりません。

余接

ついでに余接

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cot \theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \end{align*}}$

についての同様の式も導いてみましょう。　まずは加法定理から。　これには積和の公式を使います。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cot(\alpha + \beta) &= \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha + \beta)} \\ &= \frac{\cos(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta)}{\sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta)} \\ &= \frac{\frac{1}{2}(\sin 2\alpha - \sin 2\beta)}{-\frac{1}{2}(\cos 2\alpha - \cos2\beta)} \\ &= -\frac{\sin 2\alpha - \sin 2\beta}{\cos 2\alpha - \cos2\beta} \end{align*}}$

分母・分子に ${ \sin(\alpha - \beta) }$ を掛けて積和の公式を使っています。　 ${ \cos(\alpha - \beta) }$ を掛けて同様の変形をすることもできますが、次に見る複素変数の表式が、実部と虚部が分離された形にならない（少なくとも綺麗な形では）ため、このように変形しています。

加法定理の表式が導けたので、後は正接の場合とやることは同じです：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cot(x + iy) &= -\frac{\sin 2x - \sin 2iy}{\cos 2x - \cos 2iy} \\[2mm] &= -\frac{\sin 2x - i\sinh 2y}{\cos 2x - \cosh 2y} \end{align*}}$

あれこれ負符号が付いてますが、基本的には正接の表式と変わりありませんね。

まとめ

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin(x + iy) &= \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y \\ \cos(x + iy) &= \cos x \cosh y - i \sin x \sinh y \\[2mm] \tan(x + iy) &= \frac{\sin 2x + i\sinh 2y}{\cos 2x + \cosh 2y} \\[2mm] \cot(x + iy) &= -\frac{\sin 2x - i\sinh 2y}{\cos 2x - \cosh 2y} \end{align*}}$

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