倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ！

三角形の合同条件を3つも覚えられない君に贈る

高校数学幾何学

義務教育を受けているなら、中学校で三角形の合同条件を3つ学習していると思います。　その3つはこんなのでした：

3辺相等・・・3辺がそれぞれ等しい

2辺挟角相等・・・2辺とその間の角がそれぞれ等しい

1辺両端角相等・・・1辺とその両端の角がそれぞれ等しい

まぁ、覚えてしまえばそれまでですが、何故合同条件が3つもあるのか？というちょっとした疑問も残るところ。　この記事では「3辺相等」以外の合同条件が満たされていればキチンと3辺が等しくなることを示します。　つまり、合同条件を1つに集約できることを示します*1。

下図は2つの三角形の角や辺に用いる文字の定義：

f:id:waman:20110503103121p:image

2辺挟角相等 ⇒ 3辺相等

2辺とその間の角がそれぞれ等しいときに、それ以外の他の1辺も等しくなることを示します。　ここでは

${ b = b' }$
${ c = c' }$
${ A = A' }$

のとき ${ a = a' }$ を示すことにします。

証明

${ \triangle ABC }$ に対して余弦定理より

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \end{align*} }$

同様に、 ${ \triangle A'B'C' }$ に対して余弦定理より

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} a'^2 &= b'^2 + c'^2 - 2b'c'\cos A' \end{align*} }$

ここで ${ b= b',\,c = c',\,A = A' }$ を用いると

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} a'^2 &= b^2 + c^2 -2bc\cos A \\ &= a^2 \end{align*} }$

${ a,\,a' }$ が共に正なので

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} a = a' \end{align*} }$

となる。【Q.E.D.】

注

2辺とその間以外の角が等しいとき、その他の1辺の長さは必ずしも等しくならないことが示せます。　例えば ${ a = a',\,b = b',\,A = A' }$ のとき、

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \begin{cases} c = c' \\ b\cos A = \dfrac{c + c'}{2} \end{cases} \end{align*} }$

のいずれかが成り立ちます。　下の条件が成り立っている場合は、2つの三角形は合同にはなりません（両方の条件が成り立つ場合は合同になりますが）。

1辺両端角相等 ⇒ 3辺相等

1辺とその両端の角が等しいときに、それ以外の他の2辺も等しくなることを示します。　ここでは

${ a = a' }$
${ B = B' }$
${ C = C' }$

のとき ${ b = b',\,c = c' }$ を示すことにします。

証明

${ A,\,B,\,C }$ が三角形の内角なので、

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} A + B + C = 180^\circ \end{align*} }$

同様に

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} A' + B' + C' = 180^\circ \end{align*} }$

ここで ${ B = B',\,C = C' }$ より ${ A = A' }$ となる。

次に、 ${ \triangle ABC,\, \triangle A'B'C' }$ の外接円の半径をそれぞれ ${ R,\,R' }$ とすると*2、正弦定理より

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} R &= \frac{a}{2\sin A} \\ R' &= \frac{a'}{2\sin A'} = \frac{a}{2\sin A} = R \end{align*} }$

となり、外接円の半径は等しい。

これを用いて

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} b &= 2R\sin B \\ b' &= 2R'\sin B' = 2R\sin B = b \end{align*} }$

よって ${ b = b' }$ 。　同様に c' = c も示せて、結局 ${ b = b',\,c = c' }$ となる。【Q.E.D.】

注

「1辺とその両端の角が等しい」ことが合同条件ですが、三角形の内角が180°であることを使えば、等しい2角が必ずしも等しい辺の両端の角である必要はありません。

*1:1つに集約したい合同条件を他の2つの条件のどちらかにすることもできますが、ここでは省略。

*2:外接円の半径を持ち出してこなくても証明はできますが。