ラプラシアンの極座標表示： 3次元　再考

ラプラシアンの極座標表示を求めるシリーズ（目次）。　前回行った方法を3次元に適用してみます。

極座標の基底

3次元での極座標の正規直交基底はこうとります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} {\bf e}_r &= \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\varphi \\ \sin\theta\sin\varphi \\ \cos\theta \end{pmatrix} & {\bf e}_\theta &= \begin{pmatrix} \cos\theta\cos\varphi \\ \cos\theta\sin\varphi \\ -\sin\theta \end{pmatrix} & {\bf e}_\varphi &= \begin{pmatrix} -\sin\varphi \\ \cos\varphi \\ 0 \end{pmatrix} \end{align*}}$

これらの基底の（極座標での）微分を計算すると以下のようになります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial {\bf e}_r}{\partial r} &= {\bf 0} & \frac{\partial {\bf e}_\theta}{\partial r} &= {\bf 0} & \frac{\partial {\bf e}_\varphi}{\partial r} &= {\bf 0} \\ \frac{\partial {\bf e}_r}{\partial \theta} &= {\bf e}_\theta & \frac{\partial {\bf e}_\theta}{\partial \theta} &= -{\bf e}_r & \frac{\partial {\bf e}_\varphi}{\partial \theta} &= {\bf 0} \\ \frac{\partial {\bf e}_r}{\partial \varphi} &= {\bf e}_\varphi\sin\theta & \frac{\partial {\bf e}_\theta}{\partial \varphi} &= {\bf e}_\varphi\cos\theta & \frac{\partial {\bf e}_\varphi}{\partial \varphi} &= - {\bf e}_r\sin\theta - {\bf e}_\theta\cos\theta \end{align*}}$

微分 演算子

以前導いた結果より（微分演算子の行列表示）、∇を極座標と上で導入した極座標の正規直交基底を使うと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \nabla = {\bf e}_r\frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r}{\bf e}_\theta\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}{\bf e}_\varphi\frac{\partial}{\partial \varphi} \end{align*}}$

と表すことができます。　この演算子の2乗（内積）がラプラシアン ${ \triangle }$ になるので、それを以下で計算しましょう。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \triangle = {\bf e}_r\frac{\partial}{\partial r}\cdot\nabla + \frac{1}{r}{\bf e}_\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\cdot\nabla + \frac{1}{r\sin\theta}{\bf e}_\varphi\frac{\partial}{\partial \varphi}\cdot\nabla \end{align*}}$

${ r }$ 微分の項

${ r }$ 微分は2次元の場合とあまり変わりません（結果は同じ）：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} {\bf e}_r\frac{\partial}{\partial r}\cdot\nabla = \frac{\partial^2}{\partial r^2} \end{align*}}$

${ \theta }$ 微分の項

${ \theta }$ 微分の計算も同様：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{1}{r}{\bf e}_\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\cdot\nabla = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \end{align*}}$

こちらも結果は同じになります。　何次元でも同じなのかな？

${ \varphi }$ 微分の項

${ \varphi }$ 微分の計算はちょっとまじめにやりましょう。　まずは ${ \nabla }$ を ${ \varphi }$ で微分：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial}{\partial \varphi}\nabla &= \frac{\partial}{\partial \varphi}\left({\bf e}_r\frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r}{\bf e}_\theta\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}{\bf e}_\varphi\frac{\partial}{\partial \varphi}\right) \\ &= {\bf e}_\varphi\sin\theta\frac{\partial}{\partial r} + {\bf e}_r\frac{\partial^2}{\partial r \partial \varphi} \\ &\qquad+ \frac{1}{r}{\bf e}_\varphi\cos\theta\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{1}{r}{\bf e}_\theta\frac{\partial^2}{\partial \theta \partial \varphi} \\ &\qquad\qquad - \frac{1}{r\sin\theta}\left({\bf e}_r\sin\theta + {\bf e}_\theta\cos\theta\right)\frac{\partial}{\partial \varphi} + \frac{1}{r\sin\theta}{\bf e}_\varphi\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} \end{align*}}$

よって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{1}{r\sin\theta}{\bf e}_\varphi\frac{\partial}{\partial \varphi}\cdot\nabla &= \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos\theta}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} \end{align*}}$

ラプラシアン

以上をまとめると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \triangle &= \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} + \frac{\cos\theta}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} \end{align*}}$