倭算数理研究所

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極座標のヤコビアン〜計量テンソル編〜 ： n次元

数学 極座標 高次元

前回までで、計量テンソルを用いてラプラシアン (Laplacian) の極座標表示を計算しましたが、極座標のヤコビアン (Jacobian) も計量テンソルを用いて計算することができます。

計算できると言っても、実際には既に計算していて、実は { \sqrt{g} } がヤコビアンになります。　以前の記事で書いたように、計量テンソルが以下のように対角なら

　　{ \displaystyle \begin{align*} g_{ij} = \rho_i^2 \delta_{ij} \end{align*} }

ヤコビアンはもっと簡単にできます：

　　{ \displaystyle \begin{align*} \sqrt{g} = \prod_i \rho_i \end{align*} }

これを踏まえて、各次元でのヤコビアンの表式を見ていきましょう。

2次元

「ラプラシアンの極座標表示?計量テンソル編? ： 2次元」の結果より

　　{ \displaystyle \begin{align*} \rho_r &= 1,& \rho_\theta &= r \end{align*} }

なので

　　{ \displaystyle \begin{align*} \sqrt{g} = r \end{align*} }

となり、「極座標のヤコビ行列とヤコビアン ： 2次元」の結果とと一致します。

3次元

「ラプラシアンの極座標表示?計量テンソル編? ： 3次元」の結果より

　　{ \displaystyle \begin{align*} \rho_r &= 1, & \rho_\theta &= r, & \rho_\varphi &= r\sin\theta \end{align*} }

なので

　　{ \displaystyle \begin{align*} \sqrt{g} = r^2\sin\theta \end{align*} }

となり、「極座標のヤコビ行列とヤコビアン ： 3次元」の結果とと一致します。

4次元

「ラプラシアンの極座標表示?計量テンソル編? ： 4次元」の結果より

　　{ \displaystyle \begin{align*} \rho_r &= 1, & \rho_1 &= r, & \rho_2 &= r\sin\theta_1, & \rho_2 &= r\sin\theta_1\sin\theta_2 \end{align*} }

なので

　　{ \displaystyle \begin{align*} \sqrt{g} = r^3\sin^2\theta_1\sin\theta_2 \end{align*} }

となり、「極座標のヤコビ行列とヤコビアン ： 4次元」の結果とと一致します。

{ n } 次元

「ラプラシアンの極座標表示?計量テンソル編? ： n次元」の結果より

　　{ \displaystyle \begin{align*} \rho_r &= 1, & \rho_1 &= r, & \rho_i &= r\prod_{\ell=1}^{i-1}\sin\theta_\ell & \left(2 \le i \le n-1 \right) \end{align*} }

なので

　　{ \displaystyle \begin{align*} \sqrt{g} = r^{n-1}\prod_{i=1}^{n-1}\left(\sin\theta_i\right)^{n-i-1} \end{align*} }

となり、「極座標のヤコビ行列とヤコビアン ： n次元」の結果とと一致します。　n次元、恐るるに足らず！

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