4次元倭式極座標で求める4次元球の体積

倭式極座標を見ていくシリーズ（目次）。　今回は、前回導入した4次元倭式極座標を用いて、4次元球の体積を計算してみましょう。

4次元極座標の体積要素

前回の結果より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sqrt{g} = r^3\sin\theta_1\cos\theta_1 \end{align*}}$

なので、4次元倭式極座標での体積要素は以下のようになります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} dx_1dx_2dx_3dx_4 = r^3\sin\theta_1\cos\theta_1 drd\theta_1d\varphi_1d\varphi_2 \end{align*}}$

4次元球とその体積

半径 ${ a }$ の4次元球を ${ B_4(a) }$ とし、その体積を ${ V_4(a) }$ とします。　つまり

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} B_4(a) = \left\{(x_1,\,x_2,\,x_3,\,x_4) \left| \sum_{i=1}^4x_i^2 \le a^2 \right.\right\} V_4(a) = \int_{B_4(a)}dx_1dx_2dx_3dx_4 \end{align*}}$

右辺の積分を倭式極座標に変換して、倭式極座標での角度変数の定義域が

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} & 0 \le \theta_1 \le \dfrac{\pi}{2} & &0 \le \varphi_1 \le 2\pi & & 0 \le \varphi_2 \le 2\pi \end{align*}}$

であったことに注意すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} V_4(a) = \int_0^a r^3dr \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin\theta_1\cos\theta_1d\theta_1 \int_0^{2\pi}d\varphi_1 \int_0^{2\pi}d\varphi_2 \end{align*}}$

となります。　そのまま積分してもいいんですが、ここで以下のような変数を定義しましょう：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} R &= r^4 ,& \Theta_1 &= \sin^2\theta_1 \end{align*}}$

このとき

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} dR &= 4r^3dr ,& d\Theta_1 &= 2\sin\theta_1\cos\theta_1d\theta_1 \end{align*}}$

なので、これらの変数を用いて ${ V_4(a) }$ を計算すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} V_4(a) &= \frac{1}{4\cdot2}\int_0^{a^4}dR\int_0^1d\Theta_1\int_0^{2\pi}d\varphi_1\int_0^{2\pi}d\varphi_2 \\ &= \frac{1}{4\cdot2}\cdot a^4 \cdot 1 \cdot 2\pi \cdot 2\pi \\ &= \frac{1}{2}\pi^2 a^4 \end{align*}}$