commons-math 解読 (17) : 誤差関数 Erf

今回から何回かにわたって org.apache.commons.math.special に定義されているクラスを見ていきます。　このパッケージにはいくつかの特殊関数 (special functions) が定義されています。　具体的には

誤差関数 (error function) 関連
ガンマ関数 (gamma function) 関連
ベータ関数 (beta function) 関連

の関数です。　今回は誤差関数関連の関数について見ていきます。

誤差関数 Error Function

誤差関数を表すクラスは Erf で、誤差関数の値を返す static メソッドなどが定義されています：

package org.apache.commons.math.special;

public class Erf{
    public static double erf(double x){...}
    public static double erfc(double x){...}
}

erf() は誤差関数の値を返す
erfc() は相補誤差関数 (complementary error function) の値を返す

それぞれの定義については以下参照。

誤差関数 erf(x)

誤差関数 erf(x) は以下のように定義されています（wikipedia:誤差関数）：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \textrm{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\;dt \end{align*} }$

ガウス積分（の半分）

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \int_0^\infty e^{-t^2}\;dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \end{align*} }$

に注意すると

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \lim_{x\rightarrow\pm\infty}{\rm erf}(x) = \pm1 \end{align*} }$

となることが分かります（複号同順）

相補誤差関数 erfc(x)

相補誤差関数 ${ \textrm{erfc} (x) }$ は以下のように定義されています：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \textrm{erfc}(x) &= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_x^\infty e^{-t^2}\;dt \\[2mm] &= 1 - {\rm erf}(x) \end{align*} }$

積分犯意に注意。　また、誤差関数の極限値を使うと

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \lim_{x\rightarrow\infty}{\rm erfc}(x) &= 0 & \lim_{x\rightarrow-\infty}{\rm erfc}(x) &= 2 \end{align*} }$

が成り立つことが分かります。

グラフ

関数はやはりグラフを描くのがいちばんだと思うので、Groovy と JFreeChart を使って以下のようにグラフを描いてみました：

@Grab('org.apache.commons:commons-math:2.2')
@Grab('jfree:jfreechart:1.0.12')

import org.apache.commons.math.special.Erf
import org.jfree.chart.*
import static org.jfree.chart.plot.PlotOrientation.VERTICAL
import org.jfree.data.function.Function2D
import org.jfree.data.general.DatasetUtilities

def erf = { double x -> Erf.erf(x)} as Function2D
def dataset = DatasetUtilities.sampleFunction2D(erf, 0d, 3d, 1000, 'erf')
def chart = ChartFactory.createXYLineChart(
                        'Error Function', 'x', 'y', dataset, VERTICAL, true, true, true)
ChartUtilities.saveChartAsPNG(new File('erf.png'), chart, 600, 400)