倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ！

ニュートンの冷却の法則

熱力学

例えば、コップに入れられた熱いコーヒーが周囲の温度によって冷まされるような場合、温度の（時間に関する）変化の割合は、その温度と周囲の温度との差に比例します。　これを「ニュートンの冷却の法則 (Newton's law of cooling)」といいます（wikipedia:ニュートンの冷却の法則）。　この法則は経験的な法則で、成り立つための仮定、条件は

コーヒーと周囲の温度差があまり大きくない
コーヒーの温度は（空間的に）一様とみなせる

などがあります。　ただし、日常の範囲では充分によく成り立つそうです。

微分方程式

ニュートンの冷却の法則を表す微分方程式は

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \frac{dT}{dt} &= -r (T - T_s) & \cdots(*) \end{align*} }$

で表されます。　ここで

変数: ${ t }$ は時間、 ${ T }$ はコーヒーの温度（時間の関数であることを明示したい場合は ${ T(t) }$ と書く）
定数: ${ T_s }$ は周囲 (surroundings) の温度、 ${ r }$ は冷却定数

です。　冷却定数 ${ r }$ は

熱移動の機構
周囲との接触面積
コーヒーの熱的性質

などによって決まる定数です。

解析解

微分方程式 (*) を解析的に解いてみましょう。　初期条件は ${ T(0) = T_0 }$ とします。

変数変換： ${ T(t) \rightarrow \tau(t) }$

${ \tau(t) = T(t) - T_s }$ とおき、微分方程式 (*) を ${ \tau }$ に付いての微分方程式に書き換えると

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \frac{d\tau}{dt} &= -r\tau & \cdots (1) \end{align*} }$

となります。　また、初期条件は

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \tau(0) &= T_0 - T_s & \cdots (2) \end{align*} }$

となります。

微分方程式の積分

(1) 式より

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \frac{d\tau}{\tau} = -rdt \end{align*} }$

両辺を積分すると、積分定数を ${ C }$ として

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \log\tau &= -rt + C \\ \therefore \tau &= A\,e^{-rt} &(A = e^{C}) \end{align*} }$

を得ます。　ここに初期条件 (2) を課すと

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} T_0 - T_s = A \end{align*} }$

よって

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \tau(t) = (T_0 - T_s)\,e^{-rt} \end{align*} }$

変数変換： ${ \tau(t) \rightarrow T(t) }$

変数を ${ T(t) }$ に戻すと

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} T(t) = T_s + (T_0 - T_s)\,e^{-rt} \end{align*} }$

結果

結局、(*) 式の解析解は以下で与えられます：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} T(t) = T_s + (T_0 - T_s)\,e^{-rt} \end{align*} }$

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