倭算数理研究所

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2.2 オイラーのアルゴリズム

計算物理学入門 シミュレーション技法

ニュートン力学以来、物理法則の多くは微分方程式の形で記述されてきました。　したがって、多くの場合の物理シミュレーションが「微分方程式に従って物理系の状態を遷移させていき、各ステップで物理量を計算して出力する」というのものになっています*1。　このようなシミュレーションに関しては、微分方程式が物理系から引きはがされ、微分方程式が与えられたものとして一般的なシミュレーション手法がいろいろ考案されています。

今回は、それらの手法の中で最も基本となるオイラー法 (Euler's method) を見ていきます。

オイラー法

微分方程式が規定する物理系をシミュレートする場合の問題設定は、だいたい以下のようになります：

初期条件 { (x,\,y) = (x_0,\,y_0) } の下で次の微分方程式を解け：

　　{ \displaystyle \begin{align*} \frac{dy}{dx} = f(x,\,y) \end{align*} }

物理系の状態は { (x,\,y) } の値の組で指定されるのですが、シミュレーションでは物理系の状態遷移は

　　{ \displaystyle \begin{align*} (x_0,\,y_0) \rightarrow (x_1,\,y_1) \rightarrow (x_2,\,y_2) \rightarrow \cdots \rightarrow (x_n,\,y_n) \rightarrow (x_{n+1},\, y_{n+1}) \rightarrow \cdots \end{align*} }

のようにステップ・バイ・ステップで求めていきます。　初期条件は出発点となる状態を指定し、微分方程式はある状態から次の状態への遷移（のアルゴリズム）を規定します。

{ x } の遷移
{ x } の遷移は通常決まった値だけ増加させるだけです。　ここではその増加幅を { h } としましょう。　このとき

{ x } の遷移：

　　{ \displaystyle \begin{align*} x_{n+1} = x_n + h \end{align*} }

となります。

{ y } の遷移
{ y } の遷移は

から計算します。　微分方程式が規定する物理系に適用されるシミュレーション手法は、（オイラー法に限らず）多くの場合 { x } の増加幅が一定で、{ y } の増加幅をどのように計算するかが変わっているだけです。

オイラー法では、微分を「差分」に置き換えます：

　　{ \displaystyle \begin{align*} \frac{dy}{dx} \longrightarrow \frac{y_{n+1} - y_n}{h} \end{align*} }

この置き換えを微分方程式に施して、それを { y_{n+1} } について解くと以下の式を得ます：

{ y } の増加：

　　{ \displaystyle \begin{align*} y_{n+1} = y_n + h f(x_n,\,y_n) \end{align*} }

結果
結局、オイラー法では以下のような状態遷移を行います：

オイラー法の状態遷移：

　　{ \displaystyle \begin{align*} \begin{cases} x_{n+1} &= x_n + h \\[2mm] y_{n+1} &= y_n + h f(x_n,\,y_n) \end{cases} \end{align*} }

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*1:まさに、Groops の対象とするようなシミュレーション　:-)