三角関数の冪級数展開 - 倭算数理研究所

もう少し三角関数の公式シリーズ（目次）。　今回は高校数学の範囲を超えていますが、三角関数の冪級数展開（オイラー展開）の表式を導きます。　ここでは冪級数展開の定義式を使わずに、指数関数の冪級数展開とオイラーの公式から導いています。

指数関数の冪級数展開

指数関数の冪級数展開は以下で与えられます:

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} e^x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \end{align*}}$

正弦関数 ${ \sin x }$ の冪級数展開

正弦関数は指数関数を用いて

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \end{align*}}$

と表されるので

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin x &= \frac{1}{2i}\sum_{n=0}^\infty\left\{\frac{(ix)^n}{n!} - \frac{(-ix)^n}{n!}\right\} \\[2mm] &= \frac{1}{2i}\sum_{n=0}^\infty\Big\{1 - (-1)^n\Big\}\frac{i^nx^n}{n!} \\[2mm] &= \sum_{n=0}^\infty\left\{\frac{1 - (-1)^n}{2}\frac{i^{n-1}x^n}{n!}\right\} \end{align*}}$

ここで

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{1-(-1)^n}{2} = \begin{cases} 0 & (n \,{\rm : even}) \\ 1 & (n \,{\rm : odd}) \end{cases} \end{align*}}$

より、 ${ n = 2m + 1 }$ （ ${ m }$ は自然数 *1）として

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin x &= \sum_{m=0}^\infty\frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}i^{2m} \\ &= \sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^mx^{2m+1}}{(2m+1)!} \end{align*}}$

余弦関数 ${ \cos x }$ の冪級数展開

余弦関数は指数関数を用いて

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \end{align*}}$

と表されるので

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cos x &= \frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty\left\{\frac{(ix)^n}{n!} + \frac{(-ix)^n}{n!}\right\} \\[2mm] &= \sum_{n=0}^\infty\left\{\frac{1 + (-1)^n}{2}\frac{i^nx^n}{n!}\right\} \end{align*}}$

ここで ${ n = 2m }$ （ ${ m }$ は自然数）として

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cos x &= \sum_{m=0}^\infty\frac{i^{2m}x^{2m}}{(2m)!} \\ &= \sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^mx^{2m}}{(2m)!} \end{align*}}$

まとめ

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin x &= \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^mx^{2m+1}}{(2m+1)!} \\ \cos x &= \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^mx^{2m}}{(2m)!} \end{align*}}$

ちなみに、 ${ \tan x }$ の冪級数展開はベルヌ－イ数を使って行いますが、もうちょっと複雑です。　詳細は『ベルヌーイ数に関連する冪級数展開』参照。。

冪級数の最初の数項

冪級数を x の5次まで書き下すと以下のようになります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} e^x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} & &= 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots \\ \sin x &= \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^mx^{2m+1}}{(2m+1)!} & &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \\ \cos x &= \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^mx^{2m}}{(2m)!} & &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \end{align*}}$