双曲線関数の冪級数展開 - 倭算数理研究所

もう少し双曲線関数の公式シリーズ（目次）。　今回は双曲線関数の冪級数展開（オイラー展開）の表式を導きます。　三角関数の場合と同じように、冪級数展開の定義式を使わずに、指数関数の冪級数展開とオイラーの公式から導いています。　

指数関数の冪級数展開

指数関数の冪級数展開は以下で与えられます:

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} e^x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \end{align*}}$

${ \sinh x }$ の冪級数展開

${ \sinh x }$ は指数関数を用いて

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sinh x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \end{align*}}$

と表されるので

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sinh x &= \frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty\left\{\frac{x^n}{n!} - \frac{(-x)^n}{n!}\right\} \\[2mm] &= \sum_{n=0}^\infty\left\{\frac{1 - (-1)^n}{2} \frac{x^n}{n!}\right\} \end{align*}}$

ここで

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{1-(-1)^n}{2} = \begin{cases} 0 & (n \,{\rm : even}) \\ 1 & (n \,{\rm : odd}) \end{cases} \end{align*}}$

より、 ${ n = 2m + 1 }$ （ ${ m }$ は自然数 *1）として

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sinh x = \sum_{m=0}^\infty\frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!} \end{align*}}$

${ \cosh x }$ の冪級数展開

${ \cosh x }$ は指数関数を用いて

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} \end{align*}}$

と表されるので

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cosh x &= \frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty\left\{\frac{x^n}{n!} + \frac{(-x)^n}{n!}\right\} \\[2mm] &= \sum_{n=0}^\infty\left\{\frac{1 + (-1)^n}{2}\frac{x^n}{n!}\right\} \end{align*}}$

ここで ${ n = 2m }$ （ ${ m }$ は自然数）として

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cosh x &= \sum_{m=0}^\infty\frac{x^{2m}}{(2m)!} \end{align*}}$

まとめ

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sinh x &= \sum_{m=0}^\infty \frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!} \\ \cosh x &= \sum_{m=0}^\infty \frac{x^{2m}}{(2m)!} \end{align*}}$

冪級数の最初の数項

冪級数を ${ x }$ の5次まで書き下すと以下のようになります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} e^x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} & &= 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots \\ \sinh x &= \sum_{m=0}^\infty \frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!} & &= x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots \\ \cosh x &= \sum_{m=0}^\infty \frac{x^{2m}}{(2m)!} & &= 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \end{align*}}$

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*1:0 は自然数に含めてます。