階差数列 sequence of differences 
階差数列の定義
数列の隣り合う2項の差を数列とみなしたものを階差数列といいます。 数列と表されます。
階差数列から元の数列を求める
階差数列を初項から第
のとき、
を
に置き換えると以下を得ます:
添字が0から始まる場合
となります。
級数の定義
数列の各項を加えたものを級数といいます:級数から元の数列を求める
よって
また、 の定義より
まとめると
添字が0から始まる場合
となります。
まとめ
上記で出てきた4つの公式をまとめると以下のようになります:
「階差をとる」という操作と「初項から第n項までの和をとる」という操作は大雑把に言って逆の操作になります。 階差数列から元の数列を得るためには和をとり、級数から元の数列を得るためには階差をとります。 ただし、階差数列から元の数列を得る際には初項から第 項までの和をとり、級数から元の数列を得る際には第
項から第
項を引く、など添字がずれているのに注意。
また、公式中に が含まれている場合は、
が1をとることが許されない(添字が1から始まる場合)ので、常に
という制限が付きます。