階差数列と級数 - 倭算数理研究所

階差数列 sequence of differences ${ d_n }$

階差数列の定義

数列の隣り合う2項の差を数列とみなしたものを階差数列といいます。　数列 ${ a_n }$ の階差数列を ${ d_n }$ とすると、 ${ d_n }$ は ${ a_n }$ を用いて

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} d_n = a_{n+1} - a_n \end{align*} }$

と表されます。

階差数列から元の数列を求める

階差数列を初項から第 ${ n }$ 項まで加えると

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \sum_{k=1}^n d_k &= (a_2 - a_1) + (a_3 - a_2) + (a_4 - a_3) + \cdots + (a_{n+1} - a_n) \\ &= (\not{a_2} - a_1) + (\not{a_3} - \not{a_2}) + (\not{a_4} - \not{a_3}) + \cdots + (a_{n+1} - \not{a_n}) \\ &= a_{n+1} - a_1 \\ \therefore a_{n+1} &= a_1 + \sum_{k=1}^n d_k \end{align*} }$

${ n \ge 2 }$ のとき、 ${ n }$ を ${ n - 1 }$ に置き換えると以下を得ます：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} a_n &= a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}d_k & ({\rm for}\quad n\ge 2) \end{align*} }$

添字が0から始まる場合

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} a_n &= a_0 + \sum_{k=0}^{n-1}d_k & ({\rm for}\quad n\ge 1) \end{align*} }$

となります。

級数の定義

数列の各項を加えたものを級数といいます：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} S_n = \sum_{k = 1}^n a_k \end{align*} }$

級数から元の数列を求める

${ S_n }$ の定義より、 ${ n \ge 2 }$ のとき

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} S_{n-1} = \sum_{k=1}^{n-1} a_k \end{align*} }$

よって

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} S_n \quad &= a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{n-1} + a_n \\ -)\quad S_{n-1} &= a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{n-1} \\ \hline S_n - S_{n-1} &= a_n \end{align*} }$

また、 ${ S_n }$ の定義より

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} S_1 = \sum_{k=1}^1a_1 = a_1 \end{align*} }$

まとめると

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \begin{cases} a_1 = S_1 \\ a_n = S_n - S_{n-1} & ({\rm for}\quad n\ge 2) \end{cases} \end{align*} }$

添字が0から始まる場合

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \begin{cases} a_0 = S_0 \\ a_n = S_n - S_{n-1} &({\rm for}\quad n\ge 1) \end{cases} \end{align*} }$

となります。

まとめ

上記で出てきた4つの公式

階差数列の定義
階差数列から元の数列を求める公式
級数の定義
級数から元の数列を求める公式

をまとめると以下のようになります：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \begin{array}{ccccc} &{\displaystyle \left(a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} d_k \quad(n\ge 2)\right)} & &{\displaystyle \left(S_n = \sum_{k=1}^n a_k\right)} & \\ &\Longrightarrow & &\Longrightarrow & \\ d_n & & a_n & & S_n \\ &\Longleftarrow & &\Longleftarrow& \\ &{\displaystyle \left(d_n = a_{n+1} - a_n\right)} & &{\displaystyle \left(\begin{cases}a_1 = S_1 \\ a_n = S_n - S_{n-1} & (n\ge 2)\end{cases}\right)} & \end{array} \end{align*} }$

「階差をとる」という操作と「初項から第n項までの和をとる」という操作は大雑把に言って逆の操作になります。　階差数列から元の数列を得るためには和をとり、級数から元の数列を得るためには階差をとります。　ただし、階差数列から元の数列を得る際には初項から第 ${ n-1 }$ 項までの和をとり、級数から元の数列を得る際には第 ${ n }$ 項から第 ${ n-1 }$ 項を引く、など添字がずれているのに注意。