2.9 視覚化：問題 2.6 リサージュ図形 lissajous

またまた関数をプロットするサンプル。　今回はちょっとパラメータを変えるといろいろな図形になるリサージュ図形です。

問題

${ x,\,y }$ 座標が
　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \begin{cases} x = A\sin(\omega_x t + \phi_x) \\ y = B\cos(\omega_y t + \phi_y) \end{cases} \end{align*} }$
で与えられる曲線が出発点に戻って繰り返し描かれるとき、そのような曲線をリサージュ (Lissajous) 図形という。　角振動数 ${ \omega_x,\,\omega_y }$ がどのようなときにリサージュ図形になるだろうか。　初め、
　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \begin{cases} &A = B = 1 \\ &\omega_x = 2,\,\omega_y = 3 \\ &\phi_x = \frac{\pi}{6} ,\, \phi_y= \frac{\pi}{4} \end{cases} \end{align*} }$
とし ${ y }$ を ${ x }$ に対してプロットするプログラムを書け*1。

与えられたパラメータで曲線の方程式を書き下すと

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \begin{cases} x = \sin(2t + \frac{\pi}{6}) \\ y = \cos(3 t + \frac{\pi}{4}) \end{cases} \end{align*} }$

となります。

リサージュ図形となるための条件

与えられた ${ x,\,y }$ はとも周期関数で、周期はそれぞれ ${ \frac{2\pi}{\omega_x},\,\frac{2\pi}{\omega_y} }$ です。　この曲線がリサージュ図形になるためには、ある自然数 ${ n_x,\,n_y }$ に対して

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \frac{2\pi}{\omega_x}n_x = \frac{2\pi}{\omega_y}n_y \end{align*} }$

が成り立つことです。　これを少し変形すると

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \frac{\omega_x}{\omega_y} = \frac{n_x}{n_y} \end{align*} }$

となり、 ${ x,\,y }$ の角振動数が有理数比であればいいことが分かります。

シミュレーション・スクリプト

問題では、パラメータをあれこれ変えて考察せよ、みたいなことが書いてますが、ここでは与えられたパラメータでのプロットのみを行います：

@GrabResolver('https://github.com/waman/groops-core/tree/master/repo')
@Grab('org.waman.groops:groops-core:0.2-beta')

import org.waman.groops.builder.SimulationBuilder
import org.waman.groops.simulation.system.*
import static java.lang.Math.*

def a = 1d, omega_x = 2d, phy_x = PI/6d
def b = 1d, omega_y = 3d, phy_y = PI/4d

new SimulationBuilder().simulation{

    function(xy:{ double t -> [a*sin(omega_x*t + phy_x), b*cos(omega_y*t + phy_y)] },
             tmin:0d, tmax:2d*PI, dt:0.01d)

    //function(x:{ double t -> a*sin(omega_x*t + phy_x) },
    //         y:{ double t -> b*cos(omega_y*t + phy_y) },
    //         tmin:0d, tmax:2d*PI, dt:0.01d)

    png(fileName:'problem2_6.png', overwrite:true){
        chart(title:'Problem 2.6', domainLabel:'x', rangeLabel:'y'){
            dot(label:"Simulation", x:'x', y:'y')
        }
    }
}.simulate()

problem2_6.groovy
function ノードの xy 属性に、引数が1つ（サンプルでは t ）のクロージャを渡すと、媒介変数表示のグラフをプロットできます。　返り値は Double の List （成分は2つ）にします。
コメントアウトしてますが、function ノードの x, y 属性にそれぞれ媒介変数 (t) から値を計算するクロージャを渡しても同様のプロットができます。

シミュレーションを実行すると、以下のようなチャートが生成されます：

追記

『計算物理学入門』の本文ではプロットを時間経過と共に描けという問題だったので、そういうサンプルも載せておきます。　Groops のバージョンは 0.2-beta 以降が必要です：

@GrabResolver('https://github.com/waman/groops-core/tree/master/repo')
@Grab('org.waman.groops:groops-core:0.2-beta')

import org.waman.groops.builder.SimulationBuilder
import org.waman.groops.simulation.system.*
import static java.lang.Math.*

def a = 1d, omega_x = 2d, phy_x = PI/6d
def b = 1d, omega_y = 3d, phy_y = PI/4d

new SimulationBuilder().simulation{

    function(xy:{ double t -> [a*sin(omega_x*t + phy_x), b*cos(omega_y*t + phy_y)] },
                tmin:0d, dt:0.1d)

    continueUntilKeyPress()
    swing{
        chart(title:'Problem 2.6'){
            point(label:"Simulation", x:'x', y:'y')
        }
    }
}.simulate()

problem2_6_swing.groovy
標準入力でキーを入力（[Enter] を押す必要在あり）すると、シミュレーションが終了します。　ただし、GUI は終了されないので別途「×」ボタンで閉じてください。
swing ノードで Swing の GUI を起動してデータ出力を GUI に出力できます。　ただし、現在のところ、Swing GUI に出力できるのはチャートだけです。