とある高校数学の3元3次恒等式

公式

この記事では、以下の3元3次恒等式を証明します。

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) \end{align*} }$

以前の記事では、右辺を展開することで示しましたが、ここでは左辺を因数分解していきます。

証明

準備

まず準備として、2元3次式の恒等式を1つ証明しましょう。　次のような公式です：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} x^3 + y^3 &= (x + y)^3 - 3xy(x + y) & \cdots (*) \end{align*} }$

これは3乗の和を変形する式です。　証明は和の3乗の展開式

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \end{align*} }$

を変形して

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} (x + y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x + y) \end{align*} }$

とし、最後の項を移行すれば完了です：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y) \end{align*} }$

証明の流れ

では問題の恒等式の証明に取りかかりましょう。　流れは、左辺

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz \end{align*} }$

を変形して右辺になることを示します。

(*) 式を適用（1回目）

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} x^3 + y^3 + z^3 -3xyz &= (x + y)^3 - 3xy(x + y) + z^3 - 3xyz \\ &= (x + y)^3 + z^3 - 3xy(x + y + z) & \cdots (1) \end{align*} }$

最後の式では、和の順番を変えて、3乗になっていない項 ${ -3xy }$ でくくっています。

(*) 式を適用（2回目）

(*) 式で ${ x }$ の代わりに ${ x + y,\, y }$ の代わりに ${ z }$ を使うと

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} (x + y)^3 + z^3 = (x + y + z)^3 - 3(x + y)z(x + y + z) \end{align*} }$

となります。　これを (1) 式に適応すると

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} x^3 + y^3 + z^3 -3xyz &= (x + y + z)^3 - 3(x + y)z(x + y + z) - 3xy(x + y + z) &\cdots (2) \end{align*} }$

${ (x + y + z) }$ でくくる

(2) 式では全ての項に因子 ${ (x + y + z) }$ があるので、これでくくりましょう：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} x^3 + y^3 + z^3 -3xyz &= (x + y + z)\left\{(x + y + z)^2 - 3(x + y)z - 3xy \right\} \\ &= (x + y + z)\left\{(x + y + z)^2 - 3(xy + yz + zx)\right\} & \cdots(3) \end{align*} }$