1粒子系でのニュートンの運動方程式

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ（目次）。　今回は1粒子系でのニュートン(Newton)の運動方程式とその性質を見ていきましょう。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} m\frac{d^2 \textbf{r}}{dt^2} = \textbf{F} \end{align*}}$

で表されます。　ただし

${ t }$ : 時間
${ m }$ : 質点の質量
${ \textbf{r} }$ : 質点の位置*1
${ \textbf{F} }$ : 質点に加わる力

です。　位置 ${ \textbf{r} }$ の時間 ${ t }$ に関する2回微分はその粒子に働いている加速度 (acceleration) なので、この運動方程式は「粒子の加速度は、その粒子に加わる力に比例する」という法則になります。　その比例定数を（慣性）質量 (inertial mass)と呼びます。

ある量の時間微分を文字の上のドット（点）で表すと、運動方程式は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} m\ddot{\textbf{r}} = \textbf{F} \end{align*}}$

とも書けます。　一般に ${ \textbf{F} }$ は ${ \textbf{r} }$ とその時間微分、そして時間 ${ t }$ の関数となります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} m\ddot{\textbf{r}} = \textbf{F}(\textbf{r},\,\dot{\textbf{r}},\,t) \end{align*}}$

微分方程式の1階化

2階の微分方程式である運動方程式は、位置 ${ \textbf{r} }$ の時間微分である速度 ${ \textbf{v} }$ を導入して1階の微分方程式系にすると便利な場合があります。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \dot{\textbf{r}} &= \textbf{v}, & \dot{\textbf{v}} &= \frac{\textbf{F}}{m} \end{align*}}$

保存量・保存則

ニュートンの運動方程式に従って運動する質点には、いくつかの保存量があります：

エネルギー (energy) : ${ E }$
運動量 (momentum) ${ \textbf{p} }$
角運動量 (angular momentum) : ${ \textbf{L} }$

これらの量が保存するためには条件があるので注意（下記参照）。　運動量、角運動量は1粒子の質点ではあまり面白くありませんが、一応書いておきます。

エネルギーの保存

速度の関数として運動エネルギー (kinetic energy) ${ T(\textbf{v}) }$ を

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} T(\textbf{v}) = \tfrac{1}{2}m\textbf{v}^2 \end{align*}}$

で定義すると、その時間微分は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \dot{T} = \frac{dT}{d\textbf{v}}\cdot\dot{\textbf{v}} = m\textbf{v}\cdot\dot{\textbf{v}} = \textbf{F}\cdot\textbf{v} \end{align*}}$

となります。　両辺を ${ t = t_0 }$ から ${ t_1 }$ まで積分すると（それぞれの時刻での位置を ${ \textbf{r}_0,\,\textbf{r}_1 }$ 、速度を ${ \textbf{v}_0 ,\,\textbf{v}_1 }$ として）

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} T(\textbf{v}_1) - T(\textbf{v}_0) &= \int_{t_0}^{t_1}\textbf{F}\cdot\textbf{v}dt = \int_{\textbf{r}_0}^{\textbf{r}_1}\textbf{F}\cdot d\textbf{r} & \cdots (*) \end{align*}}$

ただし ${ d\textbf{r} }$ は位置の変位ベクトルで、3次元の場合

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} d\textbf{r} = \begin{pmatrix}dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix} \end{align*}}$

です。　(*) 式の最右辺を「位置 ${ \textbf{r}_0 }$ から ${ \textbf{r}_1 }$ の間に加えられた仕事」と定義すると、(*) 式は「運動エネルギーの変化は、その間に加えられた仕事に等しい」となります。

特に力 ${ \textbf{F} }$ が、あるスカラー関数 ${ U(\textbf{r}) }$ を用いて

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \textbf{F} = -\nabla U \end{align*}}$

と書かれる場合（こういう力を保存力と呼ぶ）、(*) 式の最右辺は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \int_{\textbf{r}_0}^{\textbf{r}_1}\textbf{F}\cdot d\textbf{r} = \Big[-U(\textbf{r})\Big]_{\textbf{r}_0}^{\textbf{r}_1} = -U(\textbf{r}_1) + U(\textbf{r}_0) \end{align*}}$

となり、(*) 式自体から

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} T(\textbf{v}_1) + U(\textbf{r}_1) &= T(\textbf{v}_0) + U(\textbf{r}_0) & \cdots(**) \end{align*}}$

を得ます。　 ${ U(\textbf{r}) }$ を位置 ${ \textbf{r} }$ における位置エネルギー (potential energy)、運動エネルギーと位置エネルギーの和を力学的エネルギー (mechanical energy) と定義すると、(**) 式は「力学的エネルギーは保存する」と言えます。

運動量の保存

運動量 ${ \textbf{p} }$ を

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \textbf{p} = m\textbf{v} \end{align*}}$

で定義すると、その時間微分は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \dot{\textbf{p}} = m\dot{\textbf{v}} = \textbf{F} \end{align*}}$

となります。　両辺を ${ t = t_0 }$ から ${ t_1 }$ まで積分すると（それぞれの時刻での運動量を ${ \textbf{p}_0,\,\textbf{p}_1 }$ として）

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \textbf{p}_1 - \textbf{p}_0 = \int_{t_0}^{t_1}\textbf{F}dt \end{align*}}$

を得ます。　この式の右辺を ${ t = t_0 }$ から ${ t_1 }$ までに加えられた力積と定義すると、「運動量の変化は、その間に加えられた力積に等しい」となります。　特に、力が加えられなければ運動量は保存します。

角運動量の保存

3次元の場合、角運動量 ${ \textbf{L} }$ を

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \textbf{L} = \textbf{r}\times\textbf{p} = m\textbf{r}\times\textbf{v} \end{align*}}$

で定義すると、その時間微分は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \dot{\textbf{L}} &= m\frac{d}{dt}\left(\textbf{r}\times\textbf{v}\right) = m\textbf{v}\times\textbf{v} + m\textbf{r}\times\dot{\textbf{v}} \\[2mm] &= \textbf{r}\times\textbf{F} \end{align*}}$