力が働いてないときの運動

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ（目次）。　今回は力が働いていない場合の質点の運動方程式を解いてみます。　慣性の法則からすると、これは静止したままか等速直線運動をするはずですね。　力が働いてないときのニュートンの運動方程式は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} m\frac{d^2x}{dt^2} &= 0 & \cdots (*) \end{align*}}$

となります。

(*) 式の両辺を ${ m }$ で割って

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{d^2x}{dt^2} = 0 \end{align*}}$

両辺を ${ t }$ で積分すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{dx}{dt} = C_1 \end{align*}}$

ただし ${ C_1 }$ は積分定数。　さらにもう一度積分すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x(t) = C_1t + C_2 \end{align*}}$

${ C_2 }$ も積分定数です。

初期条件として

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x(0) &= x_0, & \frac{dx}{dt}(0) &= v_0 \end{align*}}$

（ ${ x_0,\,v_0 }$ は定数）を課すと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} C_2 = x_0, \qquad C_1 = v_0 \end{align*}}$

となるので

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x(t) = x_0 + v_0 t \end{align*}}$

となります。　ちなみに位置 ${ x(t) }$ の時間微分である速度 ${ v(t) }$ も簡単に計算できて

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} v(t) = v_0 \end{align*}}$

が得られます。　 ${ v(t) }$ の式から慣性の法則

力を受けていない（もしくは合力がつり合っている）物体は静止し続けるか等速直線運動をする

ということが分かります。　今は1次元なので直線は当たり前ですが。

倭算数理研究所