減衰振動

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ（目次）。　今回は速度に比例する摩擦力が働く調和振動子を考えます。　流体中などでStokes の抵抗力が働いている場合などがこれにあたります。　この系のニュートンの運動方程式は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} m\frac{d^2x}{dt^2} &= -kx - \alpha\frac{dx}{dt} & \cdots (*) \end{align*}}$

となります。　ただし

${ m }$ ：質量
${ k }$ ：ばね定数
${ \alpha }$ ：摩擦力の比例定数

です。　これらはすべて正の定数です。

運動方程式を解く

運動方程式の整理

まずは運動方程式 (*) を整理しましょう。　以降、時間微分は文字の上にドット (･) を付けて表します：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \ddot{x} + \frac{\alpha}{m} \dot{x} + \frac{k}{m}x = 0 \end{align*}}$

ここで

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} 2\lambda = \frac{\alpha}{m},\qquad\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \end{align*}}$

とおくと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \ddot{x} + 2 \lambda \dot{x} + \omega_0^2 x &= 0 & \cdots(1) \end{align*}}$

を得ます。　 ${ \lambda }$ の前の係数 2 は、後の便利のために入れてます。

一般解を求める

(1) 式の解として

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x(t) = e^{\mu t} \end{align*}}$

の形のものを求めましょう。　一般解はこの形の解の線型結合で表されます。　これを (1) 式に代入すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &\left(\mu^2 + 2\lambda\mu + \omega_0^2\right)x(t) = 0 \\[2mm] \therefore \;& \mu = -\lambda \pm \sqrt{\lambda^2 - \omega_0^2} \end{align*}}$

式を簡単にするために

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \mu_0 = \sqrt{\lambda^2 - \omega_0^2} \end{align*}}$

とおくと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \mu = -\lambda \pm \mu_0 \end{align*}}$

これを踏まえて、一般解は以下のように表されます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x(t) &= C_1\,e^{(-\lambda+\mu_0) t } + C_2\,e^{(-\lambda-\mu_0) t } & \cdots (2) \end{align*}}$

初期条件を課す

(2) 式に以下の初期条件を課しましょう：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x(0) &= x_0 & \dot{x}(0) &= v_0 \end{align*}}$

${ x(0) = x_0 }$ より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} C_1 + C_2 &= x_0 & \cdots (3) \end{align*}}$

また

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \dot{x}(t) = C_1(-\lambda + \mu_0)\,e^{(-\lambda+\mu_0)t} + C_2(-\lambda - \mu_0)\,e^{(-\lambda-\mu_0)t} \end{align*}}$

なので、 ${ v(0) = v_0 }$ より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} & C_1(-\lambda + \mu_0) + C_2(-\lambda - \mu_0) = v_0 \\[2mm] \therefore \;& -\lambda(C_1 + C_2) + \mu_0(C_1 - C_2) = v_0 \end{align*}}$

よって ${ \mu_0 \ne 0 }$ の場合、(3) 式も使って

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} C_1 - C_2 &= \frac{\lambda x_0 + v_0}{\mu_0} &\cdots (4) \end{align*}}$

を得ます。　よって (3), (4) より以下を得ます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x(t) &= C_1\,e^{(-\lambda+\mu_0) t } + C_2\,e^{(-\lambda-\mu_0) t } \\ &= e^{-\lambda t} \left(C_1\,e^{\mu_0 t} + C_2\,e^{-\mu_0 t}\right) \\ &= e^{-\lambda t} \Big\{C_1\left(\cosh \mu_0 t + \sinh \mu_0 t\right) + C_2\left(\cosh \mu_0 t - \sinh \mu_0 t\right)\Big\} \\ & = e^{-\lambda t} \Big\{(C_1 + C_2)\cosh \mu_0 t + (C_1 - C_2)\sinh \mu_0 t \Big\} \\ & = e^{-\lambda t} \left(x_0\cosh \mu_0 t + \frac{\lambda x_0 + v_0}{\mu_0} \sinh \mu_0 t \right) \\[4mm] v(t) &= e^{-\lambda t} \left(v_0 \cosh\mu_0 x - \frac{\omega_0^2 + \lambda v_0}{\mu_0}\sinh\mu_0 t\right) \end{align*}}$

${ \mu_0 = 0 }$ の場合は、下記 (ii) の臨界制動の箇所を参照。

運動の分類

上記の結果で表される運動は、 ${ \mu_0 }$ が (i) 実数、(ii) 0 (iii) 純虚数の3つの場合で定性的に変わってきます。　ちなみに

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \mu_0 = \sqrt{\lambda^2 - \omega_0^2} \end{align*}}$

でしたね。

(i) ${ \lambda > \omega_0 }$ のとき：強制制動（非周期的減衰）

このとき ${ \mu_0 }$ は実数となります。　このとき

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x(t) &= e^{-\lambda t} \left(x_0\cosh \mu_0 t + \frac{\lambda x_0 + v_0}{\mu_0} \sinh \mu_0 t \right) \\[4mm] v(t) &= e^{-\lambda t} \left(v_0 \cosh\mu_0 x - \frac{\omega_0^2 + \lambda v_0}{\mu_0}\sinh\mu_0 t\right) \end{align*}}$

となります。　 ${ \mu_0 }$ の定義より ${ \lambda > \mu }$ となるので、 ${ x(t),\,v(t) }$ ともに時間に関して指数関数的に小さくなっていきます。

(ii) ${ \lambda = \omega_0 }$ のとき：臨界制動（非周期的減衰）

このとき ${ \mu_0 = 0 }$ となります。　強制振動の表式で ${ \mu_0 \rightarrow 0 }$ の極限をとると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x(t) &= \Big\{x_0 + \left(\lambda x_0 + v_0\right)t \Big\}e^{-\lambda t} \\[4mm] v(t) &= \Big\{v_0 - \lambda\left(\lambda x_0 + v_0\right)t \Big\}e^{-\lambda t} \end{align*}}$

この場合、単純な指数関数的減衰ではありませんが、振幅・速度ともに単調な減少をします。

(iii) ${ \lambda < \omega_0 }$ のとき：減衰振動

このとき ${ \mu_0 }$ は純虚数となります。　表式を整理するため

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \gamma_0 = \sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2} \end{align*}}$

とおくと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \mu_0 &= i \gamma_0 & (i = \sqrt{-1}) \end{align*}}$

となります。　この ${ \gamma_0 }$ を用いて ${ x_0,\,v_0 }$ を書き換えると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x(t) &= e^{-\lambda t} \left(x_0\cos \gamma_0 t + \frac{\lambda x_0 + v_0}{\gamma_0}\sin \gamma_0 t \right) \\[4mm] v(t) &= e^{-\lambda t} \left(v_0\cos \gamma_0 t - \frac{\omega_0^2 x_0 + \lambda v_0}{\gamma_0}\sin \gamma_0 t \right) \end{align*}}$